Supondo X \sim N(\mu, 9), teste a hipótese H_{0}: \mu=100 contra a alternativa H_{1}: \mu>100, de modo que L(100)=0,95 e L(102)=0,01, onde L(\mu) é a função característica de operação, L(\mu)=P\left(\right. aceitar \left.H_{0} \mid \mu\right). (Determinar o tamanho da amostra n e a constante c tal que a região crítica seja \mathrm{RC}=\{\bar{x}: \bar{x} \geq c\} ).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:\n
  • Temos observações independentes com X\sim N(\mu,9), ou seja, a variância do indivíduo é 9 e o desvio padrão é 3.\n
  • Queremos testar
H_0:\mu=100\quad\text{vs}\quad H_1:\mu>100,
com região crítica do tipo
\mathrm{RC}=\{\bar{X}:\bar{X}\ge c\}.
  • A função característica de operação é L(\mu)=P(\text{aceitar }H_0\mid\mu)=P(\bar{X}<c\mid\mu).\n
  • Foram dadas as duas condições
L(100)=0,95\quad\text{e}\quad L(102)=0,01.
  • O que precisamos determinar é o tamanho da amostra n e a constante c que geram essa função L(\mu) com a região crítica indicada.\n

Passo 2

Distribuição da média amostral e transformações úteis (aulas rápidas e práticas).\n
  • Se X_1,\dots,X_n são iid com X_i\sim N(\mu,9), a média amostral \bar{X} tem distribuição
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{9}{n}\right).
  • O desvio padrão de \bar{X} é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{3}{\sqrt{n}}.
  • Para calcular probabilidades do tipo P(\bar{X}<c\mid\mu) usamos a padronização para a normal padrão Z\sim N(0,1):
P(\bar{X}<c\mid\mu)=P\!\left(Z<\frac{c-\mu}{3/\sqrt{n}}\right).
  • Aqui z_p denota o quantil da normal padrão tal que \Phi(z_p)=p (ou seja, z_p satisfaz P(Z<z_p)=p). Exemplos: z_{0,95}\approx 1,6448536 e z_{0,01}\approx -2,3263479. Vou usar esses valores numéricos na conta.\n

Passo 3

Traduzir as condições L(100)=0,95 e L(102)=0,01 em equações com c e n.\n
  • A primeira condição dá
P(\bar{X}<c\mid\mu=100)=0,95 \quad\Longrightarrow\quad \frac{c-100}{3/\sqrt{n}}=z_{0,95}\approx 1,6448536.
  • A segunda condição dá
P(\bar{X}<c\mid\mu=102)=0,01 \quad\Longrightarrow\quad \frac{c-102}{3/\sqrt{n}}=z_{0,01}\approx -2,3263479.
  • Temos, portanto, o sistema linear em c e 3/\sqrt{n}:
c-100 = 1,6448536\cdot\frac{3}{\sqrt{n}},
c-102 = -2,3263479\cdot\frac{3}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Resolver o sistema para eliminar c e achar \sqrt{n} (a parte algébrica passo a passo).\n
  • Subtraindo a segunda equação da primeira:
(c-100)-(c-102)=1,6448536\cdot\frac{3}{\sqrt{n}} -\big(-2,3263479\cdot\frac{3}{\sqrt{n}}\big).
  • O lado esquerdo é 2. O lado direito é (1,6448536+2,3263479)\cdot\frac{3}{\sqrt{n}}. Logo
2=(1,6448536+2,3263479)\cdot\frac{3}{\sqrt{n}}.
  • Calcule a soma dos z-valores:
1,6448536+2,3263479=3,9712015\\ (\text{aprox.}).
  • Então
2=3,9712015\cdot\frac{3}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{\sqrt{n}}=\frac{2}{3,9712015}.
  • Isolando \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\frac{3\cdot 3,9712015}{2}= \frac{11,9136045}{2}=5,95680225\\ (\text{aprox.}).
  • Elevando ao quadrado obtemos
n\approx (5,95680225)^2 \approx 35,483.
  • Com essa \sqrt{n} voltamos numa das equações para achar c. Usando a primeira:
c=100+1,6448536\cdot\frac{3}{\sqrt{n}}.
  • Sabendo \frac{3}{\sqrt{n}}\approx 0,50375097, temos
c\approx 100+1,6448536\cdot 0,50375097 \approx 100,828707.
  • Portanto a solução real (não inteira) do sistema é aproximadamente
n\approx 35,483\quad\text{e}\quad c\approx 100,8287.

Passo 5

Ajuste para n inteiro (o que realmente importa em desenho amostral) e verificação rápida.\n
  • Como n deve ser inteiro, para garantir as probabilidades requisitadas precisamos escolher o menor inteiro n tal que as condições sejam atendidas. Deve-se arredondar para cima: n=36.\n
  • Para n=36 temos \sqrt{n}=6 e \sigma_{\bar{X}}=3/6=0,5. Então, usando a equação que veio de L(100)=0,95:
c=100+z_{0,95}\cdot 0,5\approx 100+1,6448536\cdot 0,5\approx 100,8224268.
  • Verificação aproximada de L(102) com n=36:
z=\frac{c-102}{0,5}=\frac{100,8224268-102}{0,5}\approx -2,3551464,
o que dá \Phi(z)\approx 0,0093, ou seja L(102)\approx 0,0093\le 0,01. Então com n=36 a condição de rejeição é pelo menos tão severa quanto pedida (aceitação em \mu=102 é menor que 0,01), o que é aceitável: garantimos a potência desejada.\n
  • Resumo: a solução exata do sistema dá n\approx 35,483 e c\approx 100,8287, e, tomando n inteiro, escolhemos n=36 com
c\approx 100,8224.

Resposta

\;n=36\n
\;c\approx 100,8224268

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