Supondo
, teste a hipótese
contra a alternativa
, de modo que
e
, onde
é a função característica de operação,
aceitar
. (Determinar o tamanho da amostra
e a constante
tal que a região crítica seja
).
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:\n
- Temos observações independentes com
, ou seja, a variância do indivíduo é e o desvio padrão é .\n - Queremos testar
com região crítica do tipo
- A função característica de operação é
.\n - Foram dadas as duas condições
- O que precisamos determinar é o tamanho da amostra
e a constante que geram essa função com a região crítica indicada.\n
Passo 2
Distribuição da média amostral e transformações úteis (aulas rápidas e práticas).\n
- Se
são iid com , a média amostral tem distribuição
- O desvio padrão de
é
- Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização para a normal padrão :
- Aqui
denota o quantil da normal padrão tal que (ou seja, satisfaz ). Exemplos: e . Vou usar esses valores numéricos na conta.\n
Passo 3
Traduzir as condições
e
em equações com
e
.\n
- A primeira condição dá
- A segunda condição dá
- Temos, portanto, o sistema linear em
e :
Passo 4
Resolver o sistema para eliminar
e achar
(a parte algébrica passo a passo).\n
- Subtraindo a segunda equação da primeira:
- O lado esquerdo é
. O lado direito é . Logo
- Calcule a soma dos
-valores:
- Então
- Isolando
:
- Elevando ao quadrado obtemos
- Com essa
voltamos numa das equações para achar . Usando a primeira:
- Sabendo
, temos
- Portanto a solução real (não inteira) do sistema é aproximadamente
Passo 5
Ajuste para
inteiro (o que realmente importa em desenho amostral) e verificação rápida.\n
- Como
deve ser inteiro, para garantir as probabilidades requisitadas precisamos escolher o menor inteiro tal que as condições sejam atendidas. Deve-se arredondar para cima: .\n - Para
temos e . Então, usando a equação que veio de :
- Verificação aproximada de
com :
o que dá
, ou seja
. Então com
a condição de rejeição é pelo menos tão severa quanto pedida (aceitação em
é menor que
), o que é aceitável: garantimos a potência desejada.\n
- Resumo: a solução exata do sistema dá
e , e, tomando inteiro, escolhemos com