Considere um sólido com
átomos não interagentes a uma temperatura absoluta
colocados em um campo magnético externo B. O momento magnético de cada átomo é dado por
, onde
é o momento angular total do átomo,
é o magneton de Bohr e
é o fator giromagnético do átomo. Sabemos que o momento magnético médio é dado pela expressão
, onde
é a função de Brillouin e
.
Partindo dessa expressão, mostre que o momento magnético se reduz aos mesmos resultados conhecidos obtidos nos casos particulares (a)
e (b)
. Explique.
Partindo dessa expressão, mostre que o momento magnético se reduz aos mesmos resultados conhecidos obtidos nos casos particulares (a)
Passo 1
O enunciado fornece:
- Um sólido com
átomos não interagentes à temperatura absoluta em campo magnético externo . - O momento magnético de cada átomo é
; o módulo é . - O momento magnético médio ao longo de
é dado por . - A função de Brillouin é
com
O que o exercício pede:
- Mostrar que para o caso (a)
a expressão acima reduz ao resultado conhecido (spin ). - Mostrar que para o caso (b)
a expressão reduz ao limite clássico (função de Langevin). - Explicar (ou seja, justificar matematicamente as simplificações e interpretar o resultado).
Passo 2
Primeiro vamos tratar o caso (a)
. Substituindo
na definição de
obtemos os parâmetros:
Logo
Agora precisamos transformar essa combinação de
em uma função mais simples. Para isso usamos a relação de função hiperbólica dupla para
:
Tomando recíproco dessa relação obtemos
Substituindo essa expressão em
temos:
Simplificando o primeiro termo:
E lembrando que
, obtemos
Portanto, para
temos a identidade
Passo 3
Agora traduzimos isso para o momento médio
. Lembrando que
e que
, para
vale
Isto é exatamente o resultado conhecido para um momento magnético quantizado com
(spin
): a magnetização por átomo é
.
Passo 4
Agora tratamos o caso (b)
. A ideia é estudar o limite de
quando
cresce muito. Reescrevendo
:
Observe dois pontos quando
:
-
e . Assim o primeiro termo tende para . - No segundo termo o argumento
. Para pequenos argumentos podemos usar a expansão assintótica de :
Aplicando com
temos
Multiplicando por
(o prefator do segundo termo em
) obtemos
Assim, ao fazer
esse segundo termo tende para
.
Combinando os dois limites:
A função
é a função de Langevin (função clássica de magnetização por partícula) — é o limite clássico da função de Brillouin quando o momento angular total é muito grande.
Passo 5
Substituindo esse limite na expressão do momento médio, usando
e
, obtemos no limite clássico:
pois
. Essa é a forma habitual da magnetização por partícula na aproximação clássica (Langevin).
Passo 6
Interpretação física curta e útil (para a prova):
- Para
o momento só pode apontar para cima ou para baixo e a função surge naturalmente — é o caso totalmente quantizado e discreto (Brillouin degenera para a função de dois níveis). - Para
as orientações possíveis do momento tornam-se praticamente contínuas (muito muitos subníveis), e a resposta magnética tende à resposta clássica descrita pela função de Langevin . - Em baixa campo (pequeno argumento) a expansão da função de Langevin dá
, levando à lei de Curie (susceptibilidade ), conexão importante entre limite clássico e comportamento térmico.
Resposta
(a)
para
.\n
(b) no limite
(função de Langevin).
(b)