Considere um sólido com N átomos não interagentes a uma temperatura absoluta T colocados em um campo magnético externo B. O momento magnético de cada átomo é dado por \boldsymbol{\mu}=g \mu_{B} \boldsymbol{J}, onde \hbar \boldsymbol{J} é o momento angular total do átomo, \mu_{B}=e \hbar /\left(2 m_{e} c\right) é o magneton de Bohr e g é o fator giromagnético do átomo. Sabemos que o momento magnético médio é dado pela expressão \mu_{z}=g \mu_{B} J B_{J}(y), onde
B_{J}(y)=\frac{2 J+1}{2 J} \operatorname{cotgh}\left\{\frac{(2 J+1) y}{2 J}\right\}-\frac{1}{2 J} \operatorname{cotgh}\left\{\frac{y}{2 J}\right\}
é a função de Brillouin e y=\frac{g \mu_{B} B J}{k T}.
Partindo dessa expressão, mostre que o momento magnético se reduz aos mesmos resultados conhecidos obtidos nos casos particulares (a) J=1 / 2 e (b) J=\infty. Explique.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Um sólido com N átomos não interagentes à temperatura absoluta T em campo magnético externo B.
  • O momento magnético de cada átomo é \boldsymbol{\mu}=g\mu_{B}\boldsymbol{J}; o módulo é \mu=g\mu_{B}J.
  • O momento magnético médio ao longo de z é dado por \mu_{z}=g\mu_{B}J\,B_{J}(y).
  • A função de Brillouin é
B_{J}(y)=\frac{2J+1}{2J}\,\operatorname{coth}\!\left(\frac{(2J+1)y}{2J}\right)-\frac{1}{2J}\,\operatorname{coth}\!\left(\frac{y}{2J}\right),
com
y=\frac{g\mu_{B}B\,J}{kT}=\frac{\mu B}{kT}.
O que o exercício pede:
  • Mostrar que para o caso (a) J=\tfrac{1}{2} a expressão acima reduz ao resultado conhecido (spin 1/2).
  • Mostrar que para o caso (b) J\to\infty a expressão reduz ao limite clássico (função de Langevin).
  • Explicar (ou seja, justificar matematicamente as simplificações e interpretar o resultado).

Passo 2

Primeiro vamos tratar o caso (a) J=\tfrac{1}{2}. Substituindo J=\tfrac{1}{2} na definição de B_{J}(y) obtemos os parâmetros:
2J+1=2,\qquad 2J=1.
Logo
B_{1/2}(y)=\frac{2}{1}\operatorname{coth}(2y)-\frac{1}{1}\operatorname{coth}(y)=2\operatorname{coth}(2y)-\operatorname{coth}(y).
Agora precisamos transformar essa combinação de \operatorname{coth} em uma função mais simples. Para isso usamos a relação de função hiperbólica dupla para \operatorname{tanh}:
\operatorname{tanh}(2y)=\frac{2\operatorname{tanh} y}{1+\operatorname{tanh}^{2}y}.
Tomando recíproco dessa relação obtemos
\operatorname{coth}(2y)=\frac{1+\operatorname{tanh}^{2}y}{2\operatorname{tanh} y}.
Substituindo essa expressão em B_{1/2} temos:
B_{1/2}(y)=2\cdot\frac{1+\operatorname{tanh}^{2}y}{2\operatorname{tanh} y}-\operatorname{coth}(y).
Simplificando o primeiro termo:
2\cdot\frac{1+\operatorname{tanh}^{2}y}{2\operatorname{tanh} y}=\frac{1+\operatorname{tanh}^{2}y}{\operatorname{tanh} y}.
E lembrando que \operatorname{coth}(y)=1/\operatorname{tanh}(y), obtemos
B_{1/2}(y)=\frac{1+\operatorname{tanh}^{2}y}{\operatorname{tanh} y}-\frac{1}{\operatorname{tanh} y}=\frac{\operatorname{tanh}^{2}y}{\operatorname{tanh} y}=\operatorname{tanh} y.
Portanto, para J=\tfrac{1}{2} temos a identidade
B_{1/2}(y)=\operatorname{tanh}(y).

Passo 3

Agora traduzimos isso para o momento médio \mu_{z}. Lembrando que \mu=g\mu_{B}J e que y=\mu B/(kT), para J=\tfrac{1}{2} vale
\mu_{z}=g\mu_{B}J\,B_{J}(y)=\mu\,\operatorname{tanh}(y)=\mu\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{\mu B}{kT}\right).
Isto é exatamente o resultado conhecido para um momento magnético quantizado com J=\tfrac{1}{2} (spin 1/2): a magnetização por átomo é \mu\operatorname{tanh}(\mu B/kT).

Passo 4

Agora tratamos o caso (b) J\to\infty. A ideia é estudar o limite de B_{J}(y) quando J cresce muito. Reescrevendo B_{J}(y):
B_{J}(y)=\frac{2J+1}{2J}\,\operatorname{coth}\!\left(\frac{(2J+1)y}{2J}\right)-\frac{1}{2J}\,\operatorname{coth}\!\left(\frac{y}{2J}\right).
Observe dois pontos quando J\to\infty:
  • \dfrac{2J+1}{2J}\to 1 e \dfrac{(2J+1)y}{2J}\to y. Assim o primeiro termo tende para \operatorname{coth}(y).
  • No segundo termo o argumento \dfrac{y}{2J}\to 0. Para pequenos argumentos z podemos usar a expansão assintótica de \operatorname{coth}z:
\operatorname{coth}z=\frac{1}{z}+\frac{z}{3}+O(z^{3})\qquad(z\to 0).
Aplicando com z=\dfrac{y}{2J} temos
\operatorname{coth}\!\left(\frac{y}{2J}\right)=\frac{2J}{y}+\frac{y}{6J}+O\!\left(\frac{1}{J^{3}}\right).
Multiplicando por \dfrac{1}{2J} (o prefator do segundo termo em B_{J}) obtemos
\frac{1}{2J}\operatorname{coth}\!\left(\frac{y}{2J}\right)=\frac{1}{y}+O\!\left(\frac{1}{J^{2}}\right).
Assim, ao fazer J\to\infty esse segundo termo tende para 1/y.
Combinando os dois limites:
\lim_{J\to\infty}B_{J}(y)=\operatorname{coth}(y)-\frac{1}{y}.
A função \mathcal{L}(y)=\operatorname{coth}(y)-\dfrac{1}{y} é a função de Langevin (função clássica de magnetização por partícula) — é o limite clássico da função de Brillouin quando o momento angular total é muito grande.

Passo 5

Substituindo esse limite na expressão do momento médio, usando \mu=g\mu_{B}J e y=\mu B/(kT), obtemos no limite clássico:
\mu_{z}=\mu\left[\operatorname{coth}\!\left(\frac{\mu B}{kT}\right)-\frac{kT}{\mu B}\right],
pois 1/y=kT/(\mu B). Essa é a forma habitual da magnetização por partícula na aproximação clássica (Langevin).

Passo 6

Interpretação física curta e útil (para a prova):
  • Para J=\tfrac{1}{2} o momento só pode apontar para cima ou para baixo e a função \operatorname{tanh} surge naturalmente — é o caso totalmente quantizado e discreto (Brillouin degenera para a função de dois níveis).
  • Para J\to\infty as orientações possíveis do momento tornam-se praticamente contínuas (muito muitos subníveis), e a resposta magnética tende à resposta clássica descrita pela função de Langevin \operatorname{coth}(x)-1/x.
  • Em baixa campo (pequeno argumento) a expansão da função de Langevin dá \mathcal{L}(y)\approx y/3, levando à lei de Curie \mu_{z}\approx \mu^{2}B/(3kT) (susceptibilidade \propto 1/T), conexão importante entre limite clássico e comportamento térmico.

Resposta

(a) \displaystyle \mu_{z}=\mu\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{\mu B}{kT}\right) para J=\tfrac{1}{2}.\n
(b) \displaystyle \mu_{z}=\mu\!\left[\operatorname{coth}\!\left(\frac{\mu B}{kT}\right)-\frac{kT}{\mu B}\right] no limite J\to\infty (função de Langevin).

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