Considere um gás ideal cujo a entropia é dada por
S=n2[sigma+5 R ln (U / n)+2 R ln (V / n)]
em que n= número de moles, R= constante universal dos gases, U= energia intera, V= volume, e sigma= constante. Calcule cp e cV.

Passo 1

O enunciado nos dá a entropia de um gás ideal como
S = n2l[sigma + 5Rln(U/n) + 2Rln(V/n)r],
onde U é a energia interna, V o volume e n o número de moles. Queremos encontrar as capacidades térmicas
cV = l(tfracpartial Upartial Tr)V,n e
cp = l(tfracpartial Hpartial Tr)P,n.

Passo 2

Usamos a relação termodinâmica
1T = l(partial Spartial Ur)V,n
Calculando a derivada em relação a U mantido V,n:
l(partial Spartial Ur)V,n = n2cdot5RU = 5nR2U
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1T = 5nR2U Longrightarrow U = 52,nRT

Passo 3

Pela definição de capacidade a volume constante,
cV = l(partial Upartial Tr)V,n = partialpartial Tl(52nRTr) = 52,nR

Passo 4

A entalpia é H=U+PV. Para um gás ideal temos PV=nRT, então
H = 52nRT + nRT = 72nRT
Assim, a capacidade a pressão constante é
cp = l(partial Hpartial Tr)P,n = partialpartial Tl(72nRTr) = 72,nR

Resposta

cV = 52,nR, cp = 72,nR.

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