Suponha que a relação da entropia, volume, energia interna e número de partículas de um sistema termodinâmico seja dado por: S=A(N V U)^1 / 3, em que A é uma constante. Determine a relação entre:
(a) U, N, V e T;
(b) a pressão p, N, V, e T;
(c) Qual é o calor específico à volume constante, cV ?

Passo 1

O enunciado nos dá a relação fundamental da entropia em representação entrópica,
S = A,(N,V,U)^1/3,
onde A é constante e as variáveis independentes são U, V e N. Vamos usar as definições termodinâmicas em representação entrópica:
1T = l(partial Spartial Ur)V,N, pT = l(partial Spartial Vr)U,N,
e depois calcular o calor específico a volume constante
cV = l(partial Upartial Tr)V,N

Passo 2

Calcular partial S/partial U:
partial Spartial U = A,13(N,V)^1/3,U^-2/3 =A3,(N,V)^1/3,U^-2/3
Pela definição,
1T = A3,(N,V)^1/3,U^-2/3,
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T = 3A,(N,V)^-1/3,U^2/3

Passo 3

Isolar U em função de T, N e V. Da equação anterior:
U^2/3 = A3,T,(N,V)^1/3
Elevando ambos os lados a 3/2:
U = l(A3r)^3/2,T^3/2,(N,V)^1/2

Passo 4

Calcular partial S/partial V:
partial Spartial V = A,13(N,U)^1/3,V^-2/3 =A3,(N,U)^1/3,V^-2/3
Então
pT = A3,(N,U)^1/3,V^-2/3,
e
p = T,A3,(N,U)^1/3,V^-2/3

Passo 5

Substituir U obtido em

Passo 6

U^1/3 = l(A3r)^1/2,T^1/2,(N,V)^1/6,
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(N,U)^1/3 = N^1/3,U^1/3 = l(A3r)^1/2,T^1/2,N^1/3,(N,V)^1/6 = l(A3r)^1/2,T^1/2,N^1/2,V^1/6
Substituindo em p:
p = T,A3,l(A3r)^1/2,T^1/2,N^1/2,V^1/6,V^-2/3 =l(A3r)^3/2,T^3/2,N^1/2,V^-1/2

Passo 7

Calcular o calor específico a volume constante:
cV = l(partial Upartial Tr)V,N
De U = l(tfracA3r)^3/2T^3/2(N,V)^1/2 segue
cV =l(tfracA3r)^3/2(N,V)^1/2,32,T^1/2 =32,UT

Resposta

(a) U = l(A3r)^3/2,T^3/2,(N,V)^1/2
(b) p = l(A3r)^3/2,T^3/2,raizNV
(c) cV = 32,UT =32,l(tfracA3r)^3/2(N,V)^1/2,T^1/2

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