Usando a equação de estado p V=n R T e o calor específico molar cV=3 R / 2 para um gás ideal monoatômico, encontre a energia livre de Helmholtz, F, como função de n, V, e T.

Passo 1

O enunciado pede a energia livre de Helmholtz
F(n,V,T)=U-TS
para um gás ideal monoatômico. Vamos usar que a equação de estado é
pV=nRT
e que o calor específico molar a volume constante é
cV=tfrac32R
Precisamos, portanto, (i) encontrar a energia interna U em função de n,T, (ii) obter a entropia S integrando a relação termodinâmica, e (iii) montar F=U-TS.

Passo 2

Energia interna de um gás ideal monoatômico:
U = cV,n,T = tfrac32R,n,T

Passo 3

Da relação termodinâmica em diferencial
dU = T,dS - p,dV
substituímos dU = cVnR,dT e p=nR,T/V. Assim
T,dS = cVnR,dT + nR,T,dVV Longrightarrow dS = cVnR,dTT + nR,dVV
Integrando,
S = cVnRln T + nRln V + S0(n),
onde S0(n) é função de n (constante de integração).

Passo 4

Agora montamos
F = U - T,S = tfrac32nR,T - Tl[cVnRln T + nRln V + S0(n)r]
Como cV=tfrac32R, fica
F = tfrac32nR,T - Tl[tfrac32nRln T + nRln V + S0(n)r]

Passo 5

Reorganizando termos, uma forma conveniente é
F(n,V,T) = -,nR,Tln V ;-;tfrac32,nR,Tln T ;+;tfrac32,nR,T ;-;T,S0(n)
Geralmente absorvemos -T,S0(n) numa constante referencial de energia.

Resposta

boxed F(n,V,T) = -,nR,Tln V ;-;tfrac32,nR,Tln T ;+;tfrac32,nR,T ;-;T,S0(n)
Em particular, desprezando a constante de referência S0(n),
F(n,V,T) = -,nR,Tln V ;-;tfrac32,nR,Tln T ;+;tfrac32,nR,T

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