Considere a seguinte distribuição de probabilidade gaussiana,
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-x^{2} /\left(2 \sigma^{2}\right)} .
Ao mesmo tempo, considere um oscilador harmônico unidimensional descrito pela função hamiltoniana
H(x, p)=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}
onde p=-i \frac{d}{d x}. Calcule as seguintes quantidades:
c) \overline{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade gaussiana
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-x^{2}/\left(2\sigma^{2}\right)}
e pede para calcular \overline{x^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A densidade P(x) é uma função de x definida em (-\infty,\infty).
  • O parâmetro \sigma>0 aparece na expressão e tem dimensão de comprimento.
  • A quantidade pedida é a esperança (valor médio) de x^{2} com respeito a P(x), ou seja \overline{x^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\,P(x)\,dx.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a integral que define \overline{x^{2}}:
\overline{x^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})}\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável de integração.
  • \sigma é o parâmetro da gaussiana (desvio padrão).
  • 1/(\sqrt{2\pi}\,\sigma) é o fator de normalização (garante que \int P(x)\,dx=1).
Antes de calcular, vale observar a simetria: P(x) é função par (depende de x^{2}), logo \int_{-\infty}^{\infty} x\,P(x)\,dx=0. Isso mostra que a média \overline{x}=0, mas a conta de \overline{x^{2}} precisa ser feita.

Passo 3

Vamos lembrar (ou provar rapidamente) um resultado padrão de integrais gaussianas que vamos usar com frequência:
Para a>0,
I(a)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Uma maneira rápida de ver isso é calcular I(a)^{2}=\left(\int e^{-a x^{2}}dx\right)\left(\int e^{-a y^{2}}dy\right)=\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-a(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy e passar a coordenadas polares; o resultado é \pi/a, portanto I(a)=\sqrt{\pi/a}. Esse é o fundamento das integrais gaussianas.

Passo 4

Para obter a integral com x^{2} no integrando, usamos o truque de derivação em relação ao parâmetro a. Definindo a=\dfrac{1}{2\sigma^{2}} (pois o expoente é -x^{2}/(2\sigma^{2})=-a x^{2}), consideramos
I(a)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Derivando ambos os lados em relação a a,
\frac{dI}{da}=\frac{d}{da}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} e^{-a x^{2}}\,dx =-\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx.
Pelo lado direito da identidade I(a)=\sqrt{\pi/a},
\frac{dI}{da}=\frac{d}{da}\left(\pi^{1/2} a^{-1/2}\right)=-\tfrac{1}{2}\pi^{1/2} a^{-3/2}.
Comparando as duas expressões para dI/da obtemos a fórmula útil
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx=\tfrac{1}{2}\pi^{1/2} a^{-3/2}.

Passo 5

Agora aplicamos o resultado ao nosso caso. Lembrando que no integrando temos e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})}=e^{-a x^{2}} com a=\dfrac{1}{2\sigma^{2}}. Então
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})}\,dx =\tfrac{1}{2}\pi^{1/2} a^{-3/2}.
Substituindo a=\dfrac{1}{2\sigma^{2}},
a^{-3/2}=\left(\frac{1}{2\sigma^{2}}\right)^{-3/2}=(2\sigma^{2})^{3/2}=2^{3/2}\sigma^{3},
portanto
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})}\,dx =\tfrac{1}{2}\pi^{1/2}\,2^{3/2}\sigma^{3} =\pi^{1/2}2^{1/2}\sigma^{3}=\sqrt{2\pi}\,\sigma^{3}.

Passo 6

Voltando à expressão de \overline{x^{2}}:
\overline{x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})}\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\bigl(\sqrt{2\pi}\,\sigma^{3}\bigr)=\sigma^{2}.
Logo a esperança do quadrado é simplesmente \sigma^{2}.
Comentário pedagógico e prático: assim como regra de bolso, para uma distribuição gaussiana com média zero e desvio padrão \sigma, a variância (que é \overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}) é \sigma^{2}. Se, no contexto do oscilador harmônico, P(x) for a densidade de probabilidade do estado fundamental (isto é, P(x)=|\psi_{0}(x)|^{2}), então identifica-se
\sigma^{2}=\frac{\hbar}{2m\omega},
portanto \overline{x^{2}}=\dfrac{\hbar}{2m\omega} nesse caso particular.

Resposta

\sigma^{2}

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