\sigma é o parâmetro da gaussiana (desvio padrão).
1/(\sqrt{2\pi}\,\sigma) é o fator de normalização (garante que \int P(x)\,dx=1).
Antes de calcular, vale observar a simetria: P(x) é função par (depende de x^{2}), logo \int_{-\infty}^{\infty} x\,P(x)\,dx=0. Isso mostra que a média \overline{x}=0, mas a conta de \overline{x^{2}} precisa ser feita.
Passo 3
Vamos lembrar (ou provar rapidamente) um resultado padrão de integrais gaussianas que vamos usar com frequência:
Uma maneira rápida de ver isso é calcular I(a)^{2}=\left(\int e^{-a x^{2}}dx\right)\left(\int e^{-a y^{2}}dy\right)=\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-a(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy e passar a coordenadas polares; o resultado é \pi/a, portanto I(a)=\sqrt{\pi/a}. Esse é o fundamento das integrais gaussianas.
Passo 4
Para obter a integral com x^{2} no integrando, usamos o truque de derivação em relação ao parâmetro a. Definindo a=\dfrac{1}{2\sigma^{2}} (pois o expoente é -x^{2}/(2\sigma^{2})=-a x^{2}), consideramos
Logo a esperança do quadrado é simplesmente \sigma^{2}.
Comentário pedagógico e prático: assim como regra de bolso, para uma distribuição gaussiana com média zero e desvio padrão \sigma, a variância (que é \overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}) é \sigma^{2}. Se, no contexto do oscilador harmônico, P(x) for a densidade de probabilidade do estado fundamental (isto é, P(x)=|\psi_{0}(x)|^{2}), então identifica-se
\sigma^{2}=\frac{\hbar}{2m\omega},
portanto \overline{x^{2}}=\dfrac{\hbar}{2m\omega} nesse caso particular.