Mostre que a massa total da atmosfera terrestre é dada por
, onde
é a pressão total no nível do solo e
é a área da superfície terrestre. Note que este resultado não depende da composição da atmosfera. (Faça este problema primeiro calculando a massa de cada constituinte, fração molar
, massa molar
e somando. Então, examinando o resultado, resolva-o da forma mais fácil.)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a massa total da atmosfera é
onde
Conteúdo envolvido: equilíbrio hidrostático (pressão vs. peso), pressão parcial e, indiretamente, lei dos gases ideais, só que não vamos precisar do T nem de volume no final.
Passo 2
Vamos enxergar a atmosfera como uma coluna de área
que vai do chão até lá no infinito. Cada gás “
” da mistura tem densidade
em função da altura
. A massa dele nessa coluna é
Pela hidrostática temos
Então isolamos
e substituímos na integral do
.
Passo 3
Fazendo a integral
Como lá em cima a pressão de cada gás cai a zero (
) e no solo
(fração molar vezes pressão total), vem
Passo 4
Agora é só somar todos os constituintes:
pois
.
Passo 5
Pra fechar, tem a versão “na lata”: pressão é força por área,
, e a força que a coluna de ar faz no chão é o peso
. Então
$$F=mg\quad\Rightarrow\quad p_0=\frac{mg}{A}
;\Rightarrow;m=\frac{A,p_0}{g}.$$
Resposta
A massa total da atmosfera é
$
```