Mostre que a massa total da atmosfera terrestre é dada por A p0 / g, onde p0 é a pressão total no nível do solo e A é a área da superfície terrestre. Note que este resultado não depende da composição da atmosfera. (Faça este problema primeiro calculando a massa de cada constituinte, fração molar xi, massa molar Mi e somando. Então, examinando o resultado, resolva-o da forma mais fácil.)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a massa total da atmosfera é
mrm atm=A,p0g,
onde A é a área da Terra, p0 a pressão ao nível do solo e g é a gravidade.
Conteúdo envolvido: equilíbrio hidrostático (pressão vs. peso), pressão parcial e, indiretamente, lei dos gases ideais, só que não vamos precisar do T nem de volume no final.

Passo 2

Vamos enxergar a atmosfera como uma coluna de área A que vai do chão até lá no infinito. Cada gás “ i” da mistura tem densidade rhoi(z) em função da altura z. A massa dele nessa coluna é
mi ;=; Aintegral0^infty rhoi(z),dz
Pela hidrostática temos
dpidz ;=;-,rhoi,g
Então isolamos rhoi=-1g,dpidz e substituímos na integral do mi.

Passo 3

Fazendo a integral
mi = Aintegral0^infty rhoi,dz = -Agintegral0^inftydpi = Agl[pi(0)-pi(infty)r]
Como lá em cima a pressão de cada gás cai a zero ( pi(infty)=0) e no solo pi(0)=xi,p0 (fração molar vezes pressão total), vem
mi = A,xi,p0g

Passo 4

Agora é só somar todos os constituintes:
mrm atm=sumi mi =sumiA,xi,p0g =A,p0gsumi xi =A,p0g,
pois sumi xi=1.

Passo 5

Pra fechar, tem a versão “na lata”: pressão é força por área, p0=F/A, e a força que a coluna de ar faz no chão é o peso mg. Então
$$F=mg\quad\Rightarrow\quad p_0=\frac{mg}{A}
;\Rightarrow;m=\frac{A,p_0}{g}.$$

Resposta

A massa total da atmosfera é
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