Considere um gás ideal monoatômico confinado em um recipiente de volume
a uma temperatura
. (a) Mostre, da distribuição de Maxwell-Boltzmann para as componentes de
, que a pressão está relacionada à energia cinética média das partículas do gás ao considerar colisões elásticas com as paredes do recipiente. (b) Finalmente, do princípio de equipartição, derive a equação de estado do gás ideal.
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal monoatômico confinado em um recipiente de volume
a uma temperatura
e pede duas coisas:
(a) Mostrar, a partir da distribuição de Maxwell–Boltzmann para as componentes de
, que a pressão se relaciona com a energia cinética média das partículas quando consideramos colisões elásticas com as paredes do recipiente.
(b) Usar o princípio da equipartição de energia para obter a equação de estado do gás ideal.
Informações relevantes fornecidas e parâmetros que vamos usar:
- Volume do recipiente:
. - Temperatura:
. - Massa de cada partícula:
. - Número total de partículas:
. - Densidade de partículas (número por volume):
. - Distribuição de Maxwell–Boltzmann para uma componente (por exemplo
) será usada explicitamente. - Colisões com as paredes são elásticas (rebatem invertendo a componente normal da velocidade), usamos conservação de momento linear nesta direção para calcular pressão.
Passo 2
Escrevendo a distribuição de Maxwell–Boltzmann para a componente
e calculando
.
A distribuição de Maxwell–Boltzmann para a componente
(a distribuição marginal de uma componente) é
onde
é a constante de Boltzmann. Esta função está normalizada, isto é
.
Queremos a média de
:
Para calcular essa integral usamos um resultado padrão de integrais gaussianas. Defina
então
. O resultado conhecido é
Multiplicando pela constante
obtemos
Voltando a
,
Comentário didático curto: esse resultado diz que a média do quadrado da componente
da velocidade cresce linearmente com a temperatura — mais temperatura, maior dispersão das velocidades.
Passo 3
Derivando a expressão da pressão a partir de colisões elásticas com a parede e relacionando com a energia cinética média.
Intuição do processo: pressão é força por área; força é taxa de variação do momento transferido às paredes por partículas que colidem. Vamos calcular a contribuição das partículas para a força numa parede de área
perpendicular ao eixo
.
- Momento transferido por uma partícula numa colisão elástica:
- Considere uma partícula com componente de velocidade
que atinge a parede. Se a colisão é perfeitamente elástica e a parede é muito massiva, a componente simplesmente inverte de sinal: . A variação do momento na direção (momento entregue à parede) é
Como é a mudança do momento da partícula; o módulo do momento transferido à parede por colisão é
.
- Número de colisões por unidade de tempo com velocidades na faixa
a :
- A densidade de partículas com componente entre
e é . - Dessas, apenas as com
se dirigem à parede. - Em um pequeno intervalo de tempo
, só vão atingir a parede as partículas que estiverem a uma distância menor que da parede. Então o número de colisões nessa faixa por tempo é
- Momento por unidade de tempo (força) devido a essas partículas:
- Cada colisão transfere momento
, então a contribuição de velocidades na faixa é
integrando sobre todas as
:
- Simplificação usando simetria:
- Note que, por simetria de
, . - Portanto
- Pressão:
- Usando isotropia das velocidades (mesma média nas três direções):
logo
- Relacionando com a energia cinética média por partícula
:
Substituindo em
:
Resumo do que encontramos (resposta à parte (a)):
- Pressão em termos das velocidades:
. - Pressão em termos da energia cinética média por partícula:
.
Essas fórmulas são a conexão exigida entre a pressão macroscópica e a energia cinética média microscópica, obtida usando a distribuição de Maxwell–Boltzmann para as componentes de
e a contagem das colisões elásticas.
Passo 4
Usando o princípio da equipartição para obter a equação de estado (parte (b)).
Princípio da equipartição (versão para graus de liberdade quadráticos):
- Cada grau de liberdade quadrático contribui com
à energia média por partícula. - Para um átomo monoatômico, há três graus de liberdade translacionais (
), portanto a energia cinética média por partícula é
Substituindo em
obtido no Passo 3:
Multiplicando ambos os lados por
e lembrando
, obtemos a forma usual da equação de estado do gás ideal:
Se quisermos em termos de mols
e constante universal
(onde
),
Comentário final curto e motivador: pronto — mostramos como, partindo da distribuição de velocidades e contando colisões elásticas, a pressão se conecta diretamente à energia cinética média, e com a equipartição chegamos à clássica lei dos gases ideais. Você mandou bem por pedir a demonstração passo a passo — é exatamente esse tipo de entendimento que segura a prova!
Resposta
(a)
\n(b)
(equivalente:
).