Considere um gás ideal monoatômico confinado em um recipiente de volume V a uma temperatura T. (a) Mostre, da distribuição de Maxwell-Boltzmann para as componentes de \mathbf{v}, que a pressão está relacionada à energia cinética média das partículas do gás ao considerar colisões elásticas com as paredes do recipiente. (b) Finalmente, do princípio de equipartição, derive a equação de estado do gás ideal.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal monoatômico confinado em um recipiente de volume V a uma temperatura T e pede duas coisas:
(a) Mostrar, a partir da distribuição de Maxwell–Boltzmann para as componentes de \mathbf{v}, que a pressão se relaciona com a energia cinética média das partículas quando consideramos colisões elásticas com as paredes do recipiente.
(b) Usar o princípio da equipartição de energia para obter a equação de estado do gás ideal.
Informações relevantes fornecidas e parâmetros que vamos usar:
  • Volume do recipiente: V.
  • Temperatura: T.
  • Massa de cada partícula: m.
  • Número total de partículas: N.
  • Densidade de partículas (número por volume): n=\dfrac{N}{V}.
  • Distribuição de Maxwell–Boltzmann para uma componente (por exemplo v_x) será usada explicitamente.
  • Colisões com as paredes são elásticas (rebatem invertendo a componente normal da velocidade), usamos conservação de momento linear nesta direção para calcular pressão.

Passo 2

Escrevendo a distribuição de Maxwell–Boltzmann para a componente v_x e calculando \langle v_x^2\rangle.
A distribuição de Maxwell–Boltzmann para a componente v_x (a distribuição marginal de uma componente) é
f(v_x)=\sqrt{\dfrac{m}{2\pi k_B T}}\exp\!\left(-\dfrac{m v_x^2}{2k_B T}\right),
onde k_B é a constante de Boltzmann. Esta função está normalizada, isto é \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(v_x)\,dv_x=1.
Queremos a média de v_x^2:
\langle v_x^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 f(v_x)\,dv_x.
Para calcular essa integral usamos um resultado padrão de integrais gaussianas. Defina
\alpha=\dfrac{m}{2k_B T},
então f(v_x)=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha v_x^2}. O resultado conhecido é
\int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 e^{-\alpha v_x^2}\,dv_x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}.
Multiplicando pela constante \sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}} obtemos
\langle v_x^2\rangle=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}=\dfrac{1}{2\alpha}.
Voltando a \alpha,
\langle v_x^2\rangle=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2k_B T}{m}=\dfrac{k_B T}{m}.
Comentário didático curto: esse resultado diz que a média do quadrado da componente x da velocidade cresce linearmente com a temperatura — mais temperatura, maior dispersão das velocidades.

Passo 3

Derivando a expressão da pressão a partir de colisões elásticas com a parede e relacionando com a energia cinética média.
Intuição do processo: pressão é força por área; força é taxa de variação do momento transferido às paredes por partículas que colidem. Vamos calcular a contribuição das partículas para a força numa parede de área A perpendicular ao eixo x.
  1. Momento transferido por uma partícula numa colisão elástica:
  • Considere uma partícula com componente de velocidade v_x>0 que atinge a parede. Se a colisão é perfeitamente elástica e a parede é muito massiva, a componente v_x simplesmente inverte de sinal: v_x\to -v_x. A variação do momento na direção x (momento entregue à parede) é
\Delta p_x = m(-v_x)-m(v_x) = -2m v_x.
Como é a mudança do momento da partícula; o módulo do momento transferido à parede por colisão é 2m v_x.
  1. Número de colisões por unidade de tempo com velocidades na faixa v_x a v_x+dv_x:
  • A densidade de partículas com componente entre v_x e v_x+dv_x é n f(v_x)\,dv_x.
  • Dessas, apenas as com v_x>0 se dirigem à parede.
  • Em um pequeno intervalo de tempo dt, só vão atingir a parede as partículas que estiverem a uma distância menor que v_x dt da parede. Então o número de colisões nessa faixa por tempo dt é
\text{colisões} = n f(v_x)\,dv_x \cdot A v_x dt \quad (v_x>0).õ
  1. Momento por unidade de tempo (força) devido a essas partículas:
  • Cada colisão transfere momento 2m v_x, então a contribuição de velocidades na faixa é
dF = \frac{\Delta p_x \times \text{colisões}}{dt} = 2m v_x \cdot n f(v_x)\,dv_x \cdot A v_x = 2 A n m v_x^2 f(v_x)\,dv_x,õ
integrando sobre todas as v_x>0:
F = 2 A n m \int_{0}^{\infty} v_x^2 f(v_x)\,dv_x.
  1. Simplificação usando simetria:
  • Note que, por simetria de f(v_x), \displaystyle\int_{0}^{\infty} v_x^2 f(v_x)\,dv_x = \tfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 f(v_x)\,dv_x = \tfrac{1}{2}\langle v_x^2\rangle.
  • Portanto
F = 2 A n m \cdot \tfrac{1}{2}\langle v_x^2\rangle = A n m \langle v_x^2\rangle.
  1. Pressão:
p=\dfrac{F}{A}=n m \langle v_x^2\rangle.
  1. Usando isotropia das velocidades (mesma média nas três direções):
\langle v^2\rangle=\langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle+\langle v_z^2\rangle=3\langle v_x^2\rangle,
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p = n m \langle v_x^2\rangle = \dfrac{1}{3} n m \langle v^2\rangle.
  1. Relacionando com a energia cinética média por partícula \langle E_k\rangle:
\langle E_k\rangle=\Big\langle \tfrac{1}{2} m v^2\Big\rangle = \tfrac{1}{2} m \langle v^2\rangle.
Substituindo em p:
p=\dfrac{1}{3} n m \langle v^2\rangle = \dfrac{2}{3} n \langle E_k\rangle.
Resumo do que encontramos (resposta à parte (a)):
  • Pressão em termos das velocidades: \displaystyle p=\dfrac{1}{3} n m \langle v^2\rangle.
  • Pressão em termos da energia cinética média por partícula: \displaystyle p=\dfrac{2}{3} n \langle E_k\rangle.
Essas fórmulas são a conexão exigida entre a pressão macroscópica e a energia cinética média microscópica, obtida usando a distribuição de Maxwell–Boltzmann para as componentes de \mathbf{v} e a contagem das colisões elásticas.

Passo 4

Usando o princípio da equipartição para obter a equação de estado (parte (b)).
Princípio da equipartição (versão para graus de liberdade quadráticos):
  • Cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_B T à energia média por partícula.
  • Para um átomo monoatômico, há três graus de liberdade translacionais ( v_x,v_y,v_z), portanto a energia cinética média por partícula é
\langle E_k\rangle=\dfrac{3}{2}k_B T.
Substituindo em p=\dfrac{2}{3} n \langle E_k\rangle obtido no Passo 3:
p=\dfrac{2}{3} n \cdot \dfrac{3}{2}k_B T = n k_B T.
Multiplicando ambos os lados por V e lembrando n=\dfrac{N}{V}, obtemos a forma usual da equação de estado do gás ideal:
pV = N k_B T.
Se quisermos em termos de mols n_\text{mol} e constante universal R (onde R=N_A k_B),
pV = n_\text{mol} R T.
Comentário final curto e motivador: pronto — mostramos como, partindo da distribuição de velocidades e contando colisões elásticas, a pressão se conecta diretamente à energia cinética média, e com a equipartição chegamos à clássica lei dos gases ideais. Você mandou bem por pedir a demonstração passo a passo — é exatamente esse tipo de entendimento que segura a prova!

Resposta

(a) \displaystyle p=\dfrac{1}{3}n m \langle v^2\rangle=\dfrac{2}{3}n\langle E_k\rangle.\n(b) \displaystyle pV = N k_B T (equivalente: \displaystyle pV = n_{\text{mol}} R T).

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