Considere um sistema de N partículas distinguíveis ultra-relativísticas, onde a relação entre energia e momento é dada por E=p c. (a) Determine a função de partição canônica Z para esse sistema. (b) A partir de Z, calcule a energia média \langle E\rangle e a capacidade térmica C_{V} do sistema. Dado: resposta para C_{V} :
C_{V}=3 N k_{B} .
(c) Compare o resultado obtido para C_{V} com o valor clássico para partículas não-relativísticas.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Determinar a função de partição canônica Z para um sistema de N partículas distinguíveis ultra-relativísticas com relação de dispersão E = p c.
  2. (b) A partir de Z, calcular a energia média \langle E\rangle e a capacidade térmica C_{V} do sistema. Foi dada a resposta esperada para C_{V}: \displaystyle C_{V}=3 N k_{B}.
  3. (c) Comparar o resultado obtido para C_{V} com o valor clássico para partículas não-relativísticas.
Informações relevantes fornecidas e hipóteses que vamos usar (assumidas como adequadas):
  • Sistema de N partículas distinguíveis, não interagentes.
  • Relação energia–momento para cada partícula: \displaystyle E = p c, onde p é o módulo do momentum e c a velocidade da luz.
  • Trabalho na aproximação clássica (ou seja, integral de fase contínua) — usaremos o fator de normalização quântica h^{3} por partícula no espaço de fase.
  • Denotarei por V o volume disponível (o enunciado não o nomeou, mas é padrão e necessário para a partição).

Passo 2

Princípio e fórmula inicial: a função de partição canônica para N partículas clássicas distinguíveis e não interagentes é o produto das partições de uma partícula. Em forma integral sobre espaço de fase:
Z = \frac{1}{h^{3N}} \int \mathrm{d}^{3N}q\,\mathrm{d}^{3N}p\; e^{-\beta H(\{p_i\})},
onde \beta=\dfrac{1}{k_{B}T}, k_{B} é a constante de Boltzmann, T a temperatura, h a constante de Planck (usada para normalização clássica do espaço de fases), e H=\sum_{i=1}^{N}E(p_{i}) é a soma das energias das partículas. Como as partículas são não interagentes e E depende só do momentum, a integral de posições separa dando V^{N}, e a integral de momentos factoriza em potências da partição de uma partícula:
Z = \bigl(Z_{1}\bigr)^{N},
onde Z_{1} é a partição de uma partícula:
Z_{1}=\frac{1}{h^{3}}\int_{V}\mathrm{d}^{3}q \int \mathrm{d}^{3}p\; e^{-\beta E(p)}.
A integral em \mathrm{d}^{3}q simplesmente dá V. Portanto
Z_{1}=\frac{V}{h^{3}} \int \mathrm{d}^{3}p\; e^{-\beta c p},
pois usamos E(p)=c p.

Passo 3

Cálculo da integral de momento em coordenadas esféricas no espaço de momentos. Em 3D temos \mathrm{d}^{3}p = 4\pi p^{2}\,\mathrm{d}p, assim:
\int \mathrm{d}^{3}p\; e^{-\beta c p} = 4\pi \int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,\mathrm{d}p.
Vamos calcular a integral unidimensional
I(a)=\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-a p}\,\mathrm{d}p,
com a=\beta c>0. Faça a substituição x=a p (ou observe a fórmula da função Gamma): p=x/a, \mathrm{d}p=\mathrm{d}x/a. Então
I(a)=\frac{1}{a^{3}}\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,\mathrm{d}x.
A integral \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,\mathrm{d}x é 2!\,=2 (fato padrão de integrais de Gamma para inteiros). Portanto
I(a)=\frac{2}{a^{3}}=\frac{2}{(\beta c)^{3}}.
Voltando,
\int \mathrm{d}^{3}p\; e^{-\beta c p} = 4\pi \cdot \frac{2}{(\beta c)^{3}} = \frac{8\pi}{\beta^{3} c^{3}}.

Passo 4

Inserindo isso em Z_{1} obtemos:
Z_{1}=\frac{V}{h^{3}} \cdot \frac{8\pi}{\beta^{3} c^{3}}.
Podemos escrever em função de T usando \beta=1/(k_{B}T), então 1/\beta^{3}=(k_{B}T)^{3}. Assim
Z_{1}= \frac{8\pi V}{h^{3} c^{3}} (k_{B}T)^{3}.
Finalmente, como as partículas são distinguíveis e não interagentes,
Z = \bigl(Z_{1}\bigr)^{N} = \left(\frac{8\pi V}{h^{3} c^{3}} (k_{B}T)^{3}\right)^{N}.
(Observação didática: se as partículas fossem idênticas na aproximação clássica, incluiríamos um fator 1/N! para evitar supercontagem; aqui o enunciado diz “distinguíveis”, então não colocamos 1/N!.)

Passo 5

Agora calculamos a energia média. Na mecânica estatística canônica existe a relação
\langle E\rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.
Vamos calcular \ln Z. Como Z=(Z_{1})^{N},
\ln Z = N \ln Z_{1} = N\left[\ln\!\left(\frac{8\pi V}{h^{3} c^{3}}\right) -3\ln\beta \right],
pois Z_{1}\propto \beta^{-3}. Diferenciando em relação a \beta,
\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = N\left( -3\cdot\frac{1}{\beta}\right)= -\frac{3N}{\beta}.
Portanto
\langle E\rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = \frac{3N}{\beta}.
Voltando a T com \beta=1/(k_{B}T), obtemos
\langle E\rangle = 3 N k_{B} T.
Interpretação simples: a energia média por partícula é 3 k_{B}T.

Passo 6

Capacidade térmica à volume constante C_{V} é definida por
C_{V} = \left(\frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T}\right)_{V}.
Como \langle E\rangle = 3N k_{B} T, a derivada é imediata:
C_{V} = 3 N k_{B}.
Isto coincide com a resposta dada no enunciado.

Passo 7

Comparação com o caso não-relativístico clássico: para um gás monoatômico clássico não-relativístico (energia cinética E=\dfrac{p^{2}}{2m}), o teorema de equipartição nos dá energia média por partícula \dfrac{3}{2}k_{B}T, logo
C_{V}^{\text{(não-relativ.)}} = \frac{3}{2} N k_{B}.ã
Comparando com o resultado ultra-relativístico C_{V}^{\text{(ultra-relativ.)}}=3N k_{B}, vemos que o calor específico do gás ultra-relativístico é o dobro do valor não-relativístico clássico. Física por trás da diferença: no regime não-relativístico a energia é quadrática em p e cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}k_{B}T (equipartição), enquanto no caso ultra-relativístico E\propto p a dependência de p altera o peso das contribuições no espaço de momento e resulta em uma média por partícula maior ( 3k_{B}T em vez de \tfrac{3}{2}k_{B}T).

Resposta

(a) \displaystyle Z = \left(\frac{8\pi V}{h^{3} c^{3}}(k_{B}T)^{3}\right)^{N}.
(b) \displaystyle \langle E\rangle = 3 N k_{B} T,\qquad C_{V}=3 N k_{B}.
(c) Para partículas não-relativísticas clássicas \displaystyle C_{V}^{\text{(nr)}}=\frac{3}{2}N k_{B}; o valor ultra-relativístico \displaystyle 3N k_{B} é o dobro do valor não-relativístico clássico.

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