Considere um sistema de
partículas distinguíveis ultra-relativísticas, onde a relação entre energia e momento é dada por
. (a) Determine a função de partição canônica
para esse sistema. (b) A partir de
, calcule a energia média
e a capacidade térmica
do sistema. Dado: resposta para
:
(c) Compare o resultado obtido para
com o valor clássico para partículas não-relativísticas.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar a função de partição canônica
para um sistema de partículas distinguíveis ultra-relativísticas com relação de dispersão . - (b) A partir de
, calcular a energia média e a capacidade térmica do sistema. Foi dada a resposta esperada para : . - (c) Comparar o resultado obtido para
com o valor clássico para partículas não-relativísticas.
Informações relevantes fornecidas e hipóteses que vamos usar (assumidas como adequadas):
- Sistema de
partículas distinguíveis, não interagentes. - Relação energia–momento para cada partícula:
, onde é o módulo do momentum e a velocidade da luz. - Trabalho na aproximação clássica (ou seja, integral de fase contínua) — usaremos o fator de normalização quântica
por partícula no espaço de fase. - Denotarei por
o volume disponível (o enunciado não o nomeou, mas é padrão e necessário para a partição).
Passo 2
Princípio e fórmula inicial: a função de partição canônica para
partículas clássicas distinguíveis e não interagentes é o produto das partições de uma partícula. Em forma integral sobre espaço de fase:
onde
,
é a constante de Boltzmann,
a temperatura,
a constante de Planck (usada para normalização clássica do espaço de fases), e
é a soma das energias das partículas. Como as partículas são não interagentes e
depende só do momentum, a integral de posições separa dando
, e a integral de momentos factoriza em potências da partição de uma partícula:
onde
é a partição de uma partícula:
A integral em
simplesmente dá
. Portanto
pois usamos
.
Passo 3
Cálculo da integral de momento em coordenadas esféricas no espaço de momentos. Em 3D temos
, assim:
Vamos calcular a integral unidimensional
com
. Faça a substituição
(ou observe a fórmula da função Gamma):
,
. Então
A integral
é
(fato padrão de integrais de Gamma para inteiros). Portanto
Voltando,
Passo 4
Inserindo isso em
obtemos:
Podemos escrever em função de
usando
, então
. Assim
Finalmente, como as partículas são distinguíveis e não interagentes,
(Observação didática: se as partículas fossem idênticas na aproximação clássica, incluiríamos um fator
para evitar supercontagem; aqui o enunciado diz “distinguíveis”, então não colocamos
.)
Passo 5
Agora calculamos a energia média. Na mecânica estatística canônica existe a relação
Vamos calcular
. Como
,
pois
. Diferenciando em relação a
,
Portanto
Voltando a
com
, obtemos
Interpretação simples: a energia média por partícula é
.
Passo 6
Capacidade térmica à volume constante
é definida por
Como
, a derivada é imediata:
Isto coincide com a resposta dada no enunciado.
Passo 7
Comparação com o caso não-relativístico clássico: para um gás monoatômico clássico não-relativístico (energia cinética
), o teorema de equipartição nos dá energia média por partícula
, logo
Comparando com o resultado ultra-relativístico
, vemos que o calor específico do gás ultra-relativístico é o dobro do valor não-relativístico clássico. Física por trás da diferença: no regime não-relativístico a energia é quadrática em
e cada grau de liberdade contribui com
(equipartição), enquanto no caso ultra-relativístico
a dependência de
altera o peso das contribuições no espaço de momento e resulta em uma média por partícula maior (
em vez de
).
Resposta
(a)
(b)
(c) Para partículas não-relativísticas clássicas ; o valor ultra-relativístico
é o dobro do valor não-relativístico clássico.
(b)
(c) Para partículas não-relativísticas clássicas