Dois fios longos paralelos são cortados pelo plano x y perpendicularmente. Cada um deles conduz uma corrente I, e no mesmo sentido. 0 fio 1 e fio 2 estão, respectivamente, a uma distância +d e -d da origem 0 .
(a) Determine \vec{B} nos pontos P_{1}=-3 d, P_{2} na origem e P_{3}=2 d.
(b) Determine uma expressão para B em algum ponto no eixo O x à direita do fio 2 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Existem dois fios longos, paralelos entre si, que atravessam o plano xy perpendicularmente (ou seja, os fios estão ao longo do eixo z e cortam o plano xy em pontos da reta Ox).
  • O fio 1 está na posição x=+d e o fio 2 está na posição x=-d (distâncias relativas à origem O).
  • Cada fio conduz a mesma corrente I, no mesmo sentido (vou assumir, para fixar ideias, que o sentido da corrente é para fora do plano xy, isto é, no sentido +\hat{z}; se o sentido fosse o oposto, todas as direções dos campos mudariam de sinal).
  • Os pontos onde precisamos determinar o campo magnético são pontos sobre o eixo Ox, cujas abscissas são:
    • P_{1} em x=-3d,
    • P_{2} na origem x=0,
    • P_{3} em x=2d.
  • Parte (a): determinar \vec{B} em P_{1},P_{2},P_{3}.
  • Parte (b): obter uma expressão para B (módulo e direção) em um ponto qualquer sobre o eixo Ox à direita do fio 2.
Não resolvo nada ainda aqui, apenas organizei e enumerei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
  • Para um fio reto, muito longo (infinitamente longo idealizado) com corrente \,I ao longo do eixo z, o módulo do campo magnético a uma distância radial r do fio é dado por
B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r},
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (constante),
  • I é a corrente no fio,
  • r é a distância perpendicular (no plano xy) do ponto até o eixo do fio.
  • A direção do campo é tangencial a círculos concêntricos em torno do fio (linhas de campo são circunferências no plano perpendicular ao fio). O sentido é dado pela regra da mão direita: se o polegar aponta no sentido da corrente ( +\hat{z} no nosso caso), os dedos enrolados mostram o sentido do campo ao redor do fio. No plano xy isso significa que o campo em pontos do eixo Ox aponta ao longo do eixo Oy, com sinal que depende se o ponto está à direita ou à esquerda do fio.
  • Para usar isso em dois fios sobre o eixo x:
    • Seja um ponto no eixo Ox com abscissa x.
    • O fio 1 está em x=d; sua contribuição em módulo é \dfrac{\mu_0 I}{2\pi|x-d|}. Pelo mão-direita, o sentido dessa contribuição em \hat{y} é:
      • +\hat{y} se x-d>0 (ponto à direita do fio 1),
      • -\hat{y} se x-d<0 (ponto à esquerda do fio 1).
        Ou, de forma compacta, a contribuição vetorial é \dfrac{\mu_0 I}{2\pi|x-d|}\,\mathrm{sgn}(x-d)\,\hat{y}, onde \mathrm{sgn} é o sinal de um número.
    • O fio 2 está em x=-d; sua contribuição em módulo é \dfrac{\mu_0 I}{2\pi|x+d|} e a direção em \hat{y} obedece ao mesmo tipo de regra: \mathrm{sgn}(x+d)\,\hat{y}.
  • Somando as duas contribuições (superposição linear), para x\neq \pm d obtemos
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{\mathrm{sgn}(x-d)}{|x-d|}+\frac{\mathrm{sgn}(x+d)}{|x+d|}\right)\hat{y}.
Observação útil: \dfrac{\mathrm{sgn}(x-a)}{|x-a|}=\dfrac{1}{x-a} para x\neq a. Assim uma forma muito prática é
\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\!\left(\frac{1}{x-d}+\frac{1}{x+d}\right)\hat{y},\quad x\neq\pm d,
que já incorpora o sinal correto automaticamente (lembrando sempre que essa expressão não vale exatamente em x=\pm d porque aí estamos sobre os fios).

Passo 3

Calculemos \vec{B} em P_{1}, que está em x=-3d.
  • Distância até o fio 1 ( x=d): |-3d-d|=4d. Módulo da contribuição do fio 1:
B_{1}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi(4d)}=\frac{\mu_{0}I}{8\pi d}.
Como -3d está à esquerda do fio 1 ( -3d<d), pelo mão-direita essa contribuição aponta em -\hat{y}.
  • Distância até o fio 2 ( x=-d): |-3d-(-d)|=| -2d|=2d. Módulo da contribuição do fio 2:
B_{2}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi(2d)}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi d}.
Como -3d está à esquerda do fio 2 ( -3d<-d), também essa contribuição aponta em -\hat{y}.
  • Soma vetorial (as duas contribuições têm mesma direção -\hat{y}):
\vec{B}(P_{1})=\left(-\frac{\mu_{0}I}{8\pi d}-\frac{\mu_{0}I}{4\pi d}\right)\hat{y} =-\frac{3\mu_{0}I}{8\pi d}\,\hat{y}.

Passo 4

Calculemos \vec{B} em P_{2}, que é a origem x=0.
  • Distância até o fio 1 ( x=d): |0-d|=d. Módulo da contribuição do fio 1:
B_{1}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi d},
e como 0<d (origem está à esquerda do fio 1), essa contribuição aponta em -\hat{y}.
  • Distância até o fio 2 ( x=-d): |0-(-d)|=d. Módulo da contribuição do fio 2:
B_{2}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi d},
e como 0>-d (origem está à direita do fio 2), essa contribuição aponta em +\hat{y}.
  • As duas contribuições têm o mesmo módulo e sentidos opostos, logo se cancelam:
\vec{B}(P_{2})=\left(-\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}+\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}\right)\hat{y}=\vec{0}.

Passo 5

Calculemos \vec{B} em P_{3}, que está em x=2d.
  • Distância até o fio 1 ( x=d): |2d-d|=d. Módulo da contribuição do fio 1:
B_{1}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi d},
e como 2d>d (ponto à direita do fio 1), essa contribuição aponta em +\hat{y}.
  • Distância até o fio 2 ( x=-d): |2d-(-d)|=3d. Módulo da contribuição do fio 2:
B_{2}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi(3d)}=\frac{\mu_{0}I}{6\pi d},
e como 2d>-d (ponto à direita do fio 2), essa contribuição também aponta em +\hat{y}.
  • Soma vetorial:
\vec{B}(P_{3})=\left(\frac{\mu_{0}I}{2\pi d}+\frac{\mu_{0}I}{6\pi d}\right)\hat{y} =\frac{2\mu_{0}I}{3\pi d}\,\hat{y}.
(operando: \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}, multiplicando pelo fator \dfrac{\mu_0 I}{\pi d} dá o resultado acima).

Passo 6

Parte (b): expressão geral para \vec{B} sobre o eixo Ox à direita do fio 2.
  • Se interpretamos “à direita do fio 2” como qualquer ponto do eixo Ox com coordenada x>-d (isto inclui pontos entre os fios e à direita de ambos), a fórmula já obtida no Passo 2 é prática e válida para x\neq\pm d:
\boxed{\displaystyle \vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-d}+\frac{1}{x+d}\right)\hat{y},\qquad x\neq\pm d.}
  • Essa expressão dá automaticamente o sinal (direção em \hat{y} positiva ou negativa) dependendo do valor de x. Lembre-se que nos pontos exatamente sobre os fios ( x=\pm d) o campo é singular (não definido no modelo de fio ideal). Se o sentido da corrente fosse -\hat{z} (oposto ao que eu assumi), basta trocar o sinal da expressão inteira.

Resposta

\vec{B}(P_{1})=-\dfrac{3\mu_{0}I}{8\pi d}\,\hat{y}
\vec{B}(P_{2})=\vec{0}
\vec{B}(P_{3})=\dfrac{2\mu_{0}I}{3\pi d}\,\hat{y}
\displaystyle \vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-d}+\frac{1}{x+d}\right)\hat{y}\quad(x\neq\pm d)

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