Dois fios longos paralelos são cortados pelo plano
perpendicularmente. Cada um deles conduz uma corrente I, e no mesmo sentido. 0 fio 1 e fio 2 estão, respectivamente, a uma distância
e
da origem 0 .
(a) Determine
nos pontos
na origem e
.
(b) Determine uma expressão para
em algum ponto no eixo
à direita do fio 2 .
(a) Determine
(b) Determine uma expressão para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- Existem dois fios longos, paralelos entre si, que atravessam o plano
perpendicularmente (ou seja, os fios estão ao longo do eixo e cortam o plano em pontos da reta ). - O fio 1 está na posição
e o fio 2 está na posição (distâncias relativas à origem ). - Cada fio conduz a mesma corrente
, no mesmo sentido (vou assumir, para fixar ideias, que o sentido da corrente é para fora do plano , isto é, no sentido ; se o sentido fosse o oposto, todas as direções dos campos mudariam de sinal). - Os pontos onde precisamos determinar o campo magnético são pontos sobre o eixo
, cujas abscissas são: -
em , -
na origem , -
em .
-
- Parte (a): determinar
em . - Parte (b): obter uma expressão para
(módulo e direção) em um ponto qualquer sobre o eixo à direita do fio 2.
Não resolvo nada ainda aqui, apenas organizei e enumerei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
- Para um fio reto, muito longo (infinitamente longo idealizado) com corrente
ao longo do eixo , o módulo do campo magnético a uma distância radial do fio é dado por
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo (constante), -
é a corrente no fio, -
é a distância perpendicular (no plano ) do ponto até o eixo do fio. -
A direção do campo é tangencial a círculos concêntricos em torno do fio (linhas de campo são circunferências no plano perpendicular ao fio). O sentido é dado pela regra da mão direita: se o polegar aponta no sentido da corrente (
no nosso caso), os dedos enrolados mostram o sentido do campo ao redor do fio. No plano isso significa que o campo em pontos do eixo aponta ao longo do eixo , com sinal que depende se o ponto está à direita ou à esquerda do fio. -
Para usar isso em dois fios sobre o eixo
: - Seja um ponto no eixo
com abscissa . - O fio 1 está em
; sua contribuição em módulo é . Pelo mão-direita, o sentido dessa contribuição em é: -
se (ponto à direita do fio 1), -
se (ponto à esquerda do fio 1).
Ou, de forma compacta, a contribuição vetorial é, onde é o sinal de um número.
-
- O fio 2 está em
; sua contribuição em módulo é e a direção em obedece ao mesmo tipo de regra: .
- Seja um ponto no eixo
-
Somando as duas contribuições (superposição linear), para
obtemos
Observação útil:
para
. Assim uma forma muito prática é
que já incorpora o sinal correto automaticamente (lembrando sempre que essa expressão não vale exatamente em
porque aí estamos sobre os fios).
Passo 3
Calculemos
em
, que está em
.
- Distância até o fio 1 (
): . Módulo da contribuição do fio 1:
Como
está à esquerda do fio 1 (
), pelo mão-direita essa contribuição aponta em
.
- Distância até o fio 2 (
): . Módulo da contribuição do fio 2:
Como
está à esquerda do fio 2 (
), também essa contribuição aponta em
.
- Soma vetorial (as duas contribuições têm mesma direção
):
Passo 4
Calculemos
em
, que é a origem
.
- Distância até o fio 1 (
): . Módulo da contribuição do fio 1:
e como
(origem está à esquerda do fio 1), essa contribuição aponta em
.
- Distância até o fio 2 (
): . Módulo da contribuição do fio 2:
e como
(origem está à direita do fio 2), essa contribuição aponta em
.
- As duas contribuições têm o mesmo módulo e sentidos opostos, logo se cancelam:
Passo 5
Calculemos
em
, que está em
.
- Distância até o fio 1 (
): . Módulo da contribuição do fio 1:
e como
(ponto à direita do fio 1), essa contribuição aponta em
.
- Distância até o fio 2 (
): . Módulo da contribuição do fio 2:
e como
(ponto à direita do fio 2), essa contribuição também aponta em
.
- Soma vetorial:
(operando:
, multiplicando pelo fator
dá o resultado acima).
Passo 6
Parte (b): expressão geral para
sobre o eixo
à direita do fio 2.
- Se interpretamos “à direita do fio 2” como qualquer ponto do eixo
com coordenada (isto inclui pontos entre os fios e à direita de ambos), a fórmula já obtida no Passo 2 é prática e válida para :
- Essa expressão dá automaticamente o sinal (direção em
positiva ou negativa) dependendo do valor de . Lembre-se que nos pontos exatamente sobre os fios ( ) o campo é singular (não definido no modelo de fio ideal). Se o sentido da corrente fosse (oposto ao que eu assumi), basta trocar o sinal da expressão inteira.