Considere um gás ideal monoatômico com n mol’s de moléculas.
(a) Escreva a equação de estado para o gás.
(b) Encontre a energia inerna do sistema e seu gráfico como funçāo da temperatura.
(c) Defina e encontre a capacidade calorífica a volume constante.
(d) Defina e encontre a capacidade calorífica à pressão constante.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e nos dá que temos um gás ideal monoatômico com n mol’s de moléculas. Vou listar com clareza o que é solicitado:
  • (a) Escrever a equação de estado do gás (ou seja, a relação entre pressão, volume, temperatura e quantidade de substância).
  • (b) Encontrar a energia interna do sistema e fazer um comentário/descrição do seu gráfico em função da temperatura.
  • (c) Definir e encontrar a capacidade calorífica a volume constante.
  • (d) Definir e encontrar a capacidade calorífica à pressão constante.
Informações dadas explicitamente: temos um gás ideal monoatômico e a quantidade de substância é n mol. Não há outros dados numéricos (como valores de p, V ou T), então as respostas serão em forma simbólica em função de n e T.

Passo 2

(a) Equação de estado do gás ideal — o que isso significa e qual é a fórmula.
A “equação de estado” relaciona pressão, volume, temperatura e número de mols no modelo do gás ideal. A fórmula padrão é a conhecida equação dos gases ideais. Vou escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
pV = n R T.
Aqui:
  • p é a pressão do gás (unidade SI: pascal, Pa),
  • V é o volume ocupado pelo gás (unidade SI: metro cúbico, m^3),
  • n é a quantidade de substância em mols,
  • R é a constante universal dos gases perfeitos (unidade SI: J·mol{-1}·K{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (unidade SI: kelvin, K).
Essa é a resposta para (a).

Passo 3

(b) Energia interna do gás — definição e princípio usado.
Primeiro, o que é energia interna U? É a energia total associada às energias microscópicas das moléculas (energia cinética translacional, rotação, vibração, potenciais intermoleculares etc.). No modelo de gás ideal monoatômico não há energia interna potencial (não há ligações internas rotacionais/vibracionais relevantes) e só aparece a energia cinética translacional das partículas.
Usamos o Teorema da Equipartição de Energia para sistemas clássicos: cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}k_B T por molécula (onde k_B é a constante de Boltzmann). Convertendo para mols, cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R T por mol (pois R = N_A k_B, com N_A o número de Avogadro).
Um átomo monoatômico livre tem apenas as três direções de movimento translacional (graus de liberdade f=3). Logo, a energia interna por mol é \tfrac{f}{2} R T = \tfrac{3}{2} R T. Para n mols, multiplica-se por n.
Assim a energia interna do gás é
U(T) = \frac{3}{2}\, n R T.
Expliquei passo a passo: número de graus de liberdade f=3; energia por grau de liberdade por mol \tfrac{1}{2}R T; então U = n\cdot f\cdot \tfrac{1}{2} R T.

Passo 4

(b) Gráfico de U em função de T — forma e inclinação.
A expressão \displaystyle U(T)=\frac{3}{2}\,n R T mostra que U é uma função linear de T passando por zero quando T=0. Em outras palavras, o gráfico U vs T é uma reta com inclinação
\frac{dU}{dT} = \frac{3}{2}\, n R.
Isso significa que ao aumentar a temperatura em 1 kelvin, a energia interna aumenta em \tfrac{3}{2} n R joules. O gráfico é uma linha reta que parte da origem (se considerarmos T\ge0).

Passo 5

(c) Definição geral de capacidade calorífica e motivo físico para a relação com U.
Capacidade calorífica C mede quanto calor é necessário para aumentar a temperatura do sistema em uma certa quantidade:
C \equiv \frac{\delta Q}{dT},
onde \delta Q é o calor trocado e dT a variação de temperatura. Existem capacidades específicas a processos: a volume constante e a pressão constante são as mais comuns.
Por que C_V está ligado à energia interna? Primeiro-princípio da Termodinâmica:
dU = \delta Q - \delta W,
onde \delta W é o trabalho realizado pelo sistema. Em um processo a volume constante temos dV=0, então \delta W = p\,dV = 0. Portanto, em V= constante,
\delta Q = dU.
Logo a capacidade a volume constante é simplesmente a derivada de U em relação a T (a volume constante):
C_V \equiv \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_V = \left(\frac{dU}{dT}\right)_V.

Passo 6

(c) Cálculo explícito de C_V para o gás monoatômico.
Usando U(T)=\dfrac{3}{2} n R T, derivamos em relação a T:
C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{3}{2}\, n R.
Podemos também falar da capacidade molar a volume constante (por mol):
C_{V,m} = \frac{C_V}{n} = \frac{3}{2}\, R.
Unidades: C_V em J·K^{-1} (porque é por todo o sistema), C_{V,m} em J·mol{-1}·K{-1}.
Exemplo numérico rápido (só para intuição): usando R\approx 8{,}314 J·mol{-1}·K{-1}, temos C_{V,m}\approx \tfrac{3}{2}\cdot 8{,}314 \approx 12{,}47 J·mol{-1}·K{-1}.

Passo 7

(d) Definição de capacidade calorífica à pressão constante e uso da entalpia.
A capacidade calorífica à pressão constante C_p é
C_p \equiv \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_p.
Em processos a pressão constante, útil trabalhar com entalpia H, definida como
H \equiv U + pV.
Para um gás ideal, pV = n R T. A variação de entalpia em processos infinitesimais é
dH = dU + d(pV).
Se a pressão é constante, d(pV) = p\,dV + V\,dp e se dp=0 então d(pV)=p\,dV. Pelo primeiro princípio, no processo a pressão constante o calor trocado é igual à variação de entalpia:
\delta Q_p = dH.
Portanto
C_p = \left(\frac{dH}{dT}\right)_p.

Passo 8

(d) Cálculo explícito de C_p para o gás monoatômico.
Sabendo que para gás ideal H = U + pV = U + n R T e usando U=\tfrac{3}{2} n R T, obtemos
H(T) = \frac{3}{2}\, n R T + n R T = \frac{5}{2}\, n R T.
Derivando em relação a T,
C_p = \frac{dH}{dT} = \frac{5}{2}\, n R.
A capacidade molar a pressão constante é
C_{p,m} = \frac{C_p}{n} = \frac{5}{2}\, R.
Também vale a relação clássica para gases ideais:
C_p - C_V = n R,
que, substituindo os valores, confirma \tfrac{5}{2}nR - \tfrac{3}{2}nR = nR.
Também é comum definir a razão adiabática (coeficiente adiabático)
\gamma \equiv \frac{C_p}{C_V} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}.

Passo 9

Resumo das fórmulas, unidades e um incentivo rápido.
  • Todas as expressões estão em unidades SI se R estiver em J·mol{-1}·K{-1} e T em K.
  • Se quiser usar um n numérico, basta multiplicar as capacidades molares por n.
  • Você consegue decorar a lógica: monoatômico \Rightarrow f=3 \Rightarrow U=\tfrac{3}{2}nRT \Rightarrow C_V=\tfrac{3}{2}nR, e C_p=C_V+nR=\tfrac{5}{2}nR. Vai dar certo na prova — respira, foca nas fórmulas e no porquê delas.

Resposta

(a) \;pV = n R T.
(b) \;U(T) = \dfrac{3}{2}\, n R T. (gráfico: reta passando pela origem com inclinação \dfrac{dU}{dT}=\dfrac{3}{2}nR.)
(c) \;C_V = \dfrac{3}{2}\, n R (capacidade molar \;C_{V,m}=\dfrac{3}{2}R).
(d) \;C_p = \dfrac{5}{2}\, n R (capacidade molar \;C_{p,m}=\dfrac{5}{2}R; razão adiabática \gamma=\dfrac{C_p}{C_V}=\dfrac{5}{3}).

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