Considere um gás ideal monoatômico com
mol’s de moléculas.
(a) Escreva a equação de estado para o gás.
(b) Encontre a energia inerna do sistema e seu gráfico como funçāo da temperatura.
(c) Defina e encontre a capacidade calorífica a volume constante.
(d) Defina e encontre a capacidade calorífica à pressão constante.
(a) Escreva a equação de estado para o gás.
(b) Encontre a energia inerna do sistema e seu gráfico como funçāo da temperatura.
(c) Defina e encontre a capacidade calorífica a volume constante.
(d) Defina e encontre a capacidade calorífica à pressão constante.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e nos dá que temos um gás ideal monoatômico com
mol’s de moléculas. Vou listar com clareza o que é solicitado:
- (a) Escrever a equação de estado do gás (ou seja, a relação entre pressão, volume, temperatura e quantidade de substância).
- (b) Encontrar a energia interna do sistema e fazer um comentário/descrição do seu gráfico em função da temperatura.
- (c) Definir e encontrar a capacidade calorífica a volume constante.
- (d) Definir e encontrar a capacidade calorífica à pressão constante.
Informações dadas explicitamente: temos um gás ideal monoatômico e a quantidade de substância é
mol. Não há outros dados numéricos (como valores de
,
ou
), então as respostas serão em forma simbólica em função de
e
.
Passo 2
(a) Equação de estado do gás ideal — o que isso significa e qual é a fórmula.
A “equação de estado” relaciona pressão, volume, temperatura e número de mols no modelo do gás ideal. A fórmula padrão é a conhecida equação dos gases ideais. Vou escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
Aqui:
-
é a pressão do gás (unidade SI: pascal, Pa), -
é o volume ocupado pelo gás (unidade SI: metro cúbico, m^3), -
é a quantidade de substância em mols, -
é a constante universal dos gases perfeitos (unidade SI: J·mol{-1}·K{-1}), -
é a temperatura absoluta (unidade SI: kelvin, K).
Essa é a resposta para (a).
Passo 3
(b) Energia interna do gás — definição e princípio usado.
Primeiro, o que é energia interna
? É a energia total associada às energias microscópicas das moléculas (energia cinética translacional, rotação, vibração, potenciais intermoleculares etc.). No modelo de gás ideal monoatômico não há energia interna potencial (não há ligações internas rotacionais/vibracionais relevantes) e só aparece a energia cinética translacional das partículas.
Usamos o Teorema da Equipartição de Energia para sistemas clássicos: cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
por molécula (onde
é a constante de Boltzmann). Convertendo para mols, cada grau de liberdade contribui com
por mol (pois
, com
o número de Avogadro).
Um átomo monoatômico livre tem apenas as três direções de movimento translacional (graus de liberdade
). Logo, a energia interna por mol é
. Para
mols, multiplica-se por
.
Assim a energia interna do gás é
Expliquei passo a passo: número de graus de liberdade
; energia por grau de liberdade por mol
; então
.
Passo 4
(b) Gráfico de
em função de
— forma e inclinação.
A expressão
mostra que
é uma função linear de
passando por zero quando
. Em outras palavras, o gráfico
vs
é uma reta com inclinação
Isso significa que ao aumentar a temperatura em
kelvin, a energia interna aumenta em
joules. O gráfico é uma linha reta que parte da origem (se considerarmos
).
Passo 5
(c) Definição geral de capacidade calorífica e motivo físico para a relação com
.
Capacidade calorífica
mede quanto calor é necessário para aumentar a temperatura do sistema em uma certa quantidade:
onde
é o calor trocado e
a variação de temperatura. Existem capacidades específicas a processos: a volume constante e a pressão constante são as mais comuns.
Por que
está ligado à energia interna? Primeiro-princípio da Termodinâmica:
onde
é o trabalho realizado pelo sistema. Em um processo a volume constante temos
, então
. Portanto, em
constante,
Logo a capacidade a volume constante é simplesmente a derivada de
em relação a
(a volume constante):
Passo 6
(c) Cálculo explícito de
para o gás monoatômico.
Usando
, derivamos em relação a
:
Podemos também falar da capacidade molar a volume constante (por mol):
Unidades:
em J·K^{-1} (porque é por todo o sistema),
em J·mol{-1}·K{-1}.
Exemplo numérico rápido (só para intuição): usando
J·mol{-1}·K{-1}, temos
J·mol{-1}·K{-1}.
Passo 7
(d) Definição de capacidade calorífica à pressão constante e uso da entalpia.
A capacidade calorífica à pressão constante
é
Em processos a pressão constante, útil trabalhar com entalpia
, definida como
Para um gás ideal,
. A variação de entalpia em processos infinitesimais é
Se a pressão é constante,
e se
então
. Pelo primeiro princípio, no processo a pressão constante o calor trocado é igual à variação de entalpia:
Portanto
Passo 8
(d) Cálculo explícito de
para o gás monoatômico.
Sabendo que para gás ideal
e usando
, obtemos
Derivando em relação a
,
A capacidade molar a pressão constante é
Também vale a relação clássica para gases ideais:
que, substituindo os valores, confirma
.
Também é comum definir a razão adiabática (coeficiente adiabático)
Passo 9
Resumo das fórmulas, unidades e um incentivo rápido.
- Todas as expressões estão em unidades SI se
estiver em J·mol{-1}·K{-1} e em K. - Se quiser usar um
numérico, basta multiplicar as capacidades molares por . - Você consegue decorar a lógica: monoatômico
, e . Vai dar certo na prova — respira, foca nas fórmulas e no porquê delas.
Resposta
(a)
(b) (gráfico: reta passando pela origem com inclinação
.)
(c) (capacidade molar
).
(d) (capacidade molar
; razão adiabática
).
(b)
(c)
(d)