Um estudante curioso e perspicaz deseja saber a altura de um prédio. Num dia ensolarado e munido de uma trena ele mediu o comprimento da sombra do prédio e o comprimento da própria sombra, obtendo os valores 20,0 \mathrm{~m} e 0,6 \mathrm{~m}, respectivamente. Sendo sua altura de 1,8 \mathrm{~m}, qual a altura do prédio?

Passo 1

O problema pede para descobrir a altura do prédio, dado que eu medi a sombra do prédio e a minha própria sombra. As informações fornecidas são:
  • comprimento da sombra do prédio: 20,0\\ \mathrm{m};
  • comprimento da minha sombra: 0,6\\ \mathrm{m};
  • minha altura: 1,8\\ \mathrm{m}.
A pergunta clara é: qual é a altura do prédio?

Passo 2

Vamos entender geometricamente o que está acontecendo (aula rápida, mas tranquila). Quando o Sol está distante, os raios de luz que incidem no chão são praticamente paralelos. Isso faz com que o triângulo formado pela minha altura e minha sombra seja parecido (semelhante) ao triângulo formado pela altura do prédio e a sombra do prédio. Triângulos semelhantes têm os mesmos ângulos e, portanto, os comprimentos correspondentes estão na mesma razão. Ou seja, a razão “altura/sombra” é a mesma para mim e para o prédio.

Passo 3

Agora formalizo isso com uma variável. Seja H a altura do prédio (é o que queremos). Pela semelhança dos triângulos temos a proporção entre alturas e sombras:
\frac{H}{20,0}=\frac{1,8}{0,6}.
Aqui expliquei o que cada coisa representa: H é a altura do prédio em metros, 20,0 é a sombra do prédio em metros, 1,8 é a minha altura em metros e 0,6 é a minha sombra em metros.

Passo 4

Vamos resolver a proporção. Isolando H obtemos:
H = 20,0 \cdot \frac{1,8}{0,6}.
Para calcular \dfrac{1,8}{0,6} de forma segura sem calculadora: multiplico numerador e denominador por 10 para tirar as vírgulas, ficando \dfrac{18}{6}, e \dfrac{18}{6}=3. Então
\frac{1,8}{0,6}=3.

Passo 5

Substituindo na expressão de H:
H = 20,0 \cdot 3 = 60,0\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura do prédio é 60,0\\ \mathrm{m}. Dica prática para a prova: sempre pense “altura/sombra = constante”, monte a proporção e simplifique os decimais multiplicando por 10 ou 100 se precisar. Um exemplo extra para fixar: se eu tivesse altura 1,7\\ \mathrm{m} e sombra 0,5\\ \mathrm{m} e a sombra do prédio fosse 25,0\\ \mathrm{m}, então a altura do prédio seria 25,0\cdot(1,7/0,5)=25,0\cdot3,4=85,0\\ \mathrm{m}. Esse procedimento é o mesmo que usamos acima.

Resposta

60,0\\ \mathrm{m}

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