Um estudante curioso e perspicaz deseja saber a altura de um prédio. Num dia ensolarado e munido de uma trena ele mediu o comprimento da sombra do prédio e o comprimento da própria sombra, obtendo os valores
e
, respectivamente. Sendo sua altura de
, qual a altura do prédio?
Passo 1
O problema pede para descobrir a altura do prédio, dado que eu medi a sombra do prédio e a minha própria sombra. As informações fornecidas são:
- comprimento da sombra do prédio:
; - comprimento da minha sombra:
; - minha altura:
.
A pergunta clara é: qual é a altura do prédio?
Passo 2
Vamos entender geometricamente o que está acontecendo (aula rápida, mas tranquila). Quando o Sol está distante, os raios de luz que incidem no chão são praticamente paralelos. Isso faz com que o triângulo formado pela minha altura e minha sombra seja parecido (semelhante) ao triângulo formado pela altura do prédio e a sombra do prédio. Triângulos semelhantes têm os mesmos ângulos e, portanto, os comprimentos correspondentes estão na mesma razão. Ou seja, a razão “altura/sombra” é a mesma para mim e para o prédio.
Passo 3
Agora formalizo isso com uma variável. Seja
a altura do prédio (é o que queremos). Pela semelhança dos triângulos temos a proporção entre alturas e sombras:
Aqui expliquei o que cada coisa representa:
é a altura do prédio em metros,
é a sombra do prédio em metros,
é a minha altura em metros e
é a minha sombra em metros.
Passo 4
Vamos resolver a proporção. Isolando
obtemos:
Para calcular
de forma segura sem calculadora: multiplico numerador e denominador por
para tirar as vírgulas, ficando
, e
. Então
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
Portanto a altura do prédio é
. Dica prática para a prova: sempre pense “altura/sombra = constante”, monte a proporção e simplifique os decimais multiplicando por
ou
se precisar. Um exemplo extra para fixar: se eu tivesse altura
e sombra
e a sombra do prédio fosse
, então a altura do prédio seria
. Esse procedimento é o mesmo que usamos acima.