Considere um gás ideial diatômico com N moléculas.
(a) Construa um ciclo de Carnot com esse gás
(b) Encontre o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre dois reservatórios térmicos à temperaturas T_{H} e T_{C}<T_{H}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Construir (descrever) um ciclo de Carnot cujo fluido de trabalho é um gás ideal diatômico com N moléculas.
  • (b) Determinar o rendimento (eficiência) de uma máquina de Carnot operando entre dois reservatórios térmicos à temperaturas T_{H} e T_{C}<T_{H}.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
  • O gás é ideal e diatômico. Vou assumir o modelo clássico onde apenas modos de translação e rotações estão ativos (vibrações desprezadas), isto é, número de graus de liberdade f=5.
  • O sistema tem N moléculas e a constante de Boltzmann é k_{B}.
  • Os processos do ciclo serão reversíveis (como no ciclo de Carnot ideal).
    Não faço mais suposições além dessas.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmulas do gás ideal que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Energia interna de um gás ideal monoatômico/diatômico depende só da temperatura. Em termos do número de graus de liberdade f, a energia interna total é
U=\frac{f}{2}\,N k_{B} T.
Aqui U é a energia interna do conjunto de N moléculas, k_{B} é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta.
  • Capacidade térmica a volume constante C_{V} (para todo o conjunto de N moléculas) é a derivada de U em relação a T:
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=\frac{f}{2}\,N k_{B}.
  • Capacidade térmica a pressão constante C_{P} satisfaz C_{P}=C_{V}+N k_{B} (pela relação dos calores em gases ideais). Logo
C_{P}=\frac{f+2}{2}\,N k_{B}.
  • A razão adiabática (índice adiabático) é
\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{f+2}{f}.
Para gás diatômico com f=5 temos
C_{V}=\frac{5}{2}\,N k_{B},\qquad C_{P}=\frac{7}{2}\,N k_{B},\qquad \gamma=\frac{7}{5}=1{,}4.
Essas fórmulas nos dizem como energia e capacidades variam com T e são necessárias para relacionar as transformações adiabáticas e calcular calores nas isotermas.

Passo 3

Descrição passo a passo do ciclo de Carnot (identificando os quatro trechos e os pontos no diagrama P V). Vou usar letras para os pontos do ciclo: a\to b\to c\to d\to a.
  • Trecho 1: a\to b — isoterma reversível a temperatura T_{H} com expansão do gás (o gás recebe calor Q_{H} do reservatório quente). Nesta isoterma a temperatura do gás é constante e igual a T_{H}.
  • Trecho 2: b\to c — expansão adiabática reversível: o sistema expande sem troca de calor e sua temperatura cai de T_{H} até T_{C}.
  • Trecho 3: c\to d — isoterma reversível a temperatura T_{C} com compressão (o gás rejeita calor Q_{C} para o reservatório frio). Nesta isoterma a temperatura do gás é constante e igual a T_{C}.
  • Trecho 4: d\to a — compressão adiabática reversível: a temperatura do gás sobe de T_{C} até T_{H} sem troca de calor, retornando ao estado inicial a.
Essa é a construção típica do ciclo de Carnot: duas isotermas (às temperaturas dos reservatórios) e duas adiabáticas conectando-as reversivelmente. No diagrama P V os trechos isotermais são curvas hiperbólicas e as adiabáticas são curvas mais inclinadas; o ciclo é fechado e executado no sentido horário para uma máquina térmica (trabalha produzindo trabalho).

Passo 4

Cálculo do calor trocado nas isotermas (fórmula e derivação passo a passo).
  • Em uma transformação isoterma reversível do gás ideal a temperatura T, a energia interna não varia porque U depende só da temperatura e T é constante. Assim \Delta U=0 e pela primeira lei Q=W (o calor recebido é igual ao trabalho realizado pelo gás).
  • O trabalho em uma isoterma é
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} P\,dV.
Pelo gás ideal P=\dfrac{N k_{B} T}{V}. Substituindo,
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{N k_{B} T}{V}\,dV = N k_{B} T \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{dV}{V} = N k_{B} T \ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right).
  • Aplicando isso ao trecho a\to b (isoterma a T_{H}) com volumes V_{a} e V_{b},
Q_{H}=W_{a\to b}=N k_{B} T_{H} \ln\!\left(\frac{V_{b}}{V_{a}}\right).
  • E ao trecho c\to d (isoterma a T_{C}) com volumes V_{c} e V_{d}, o calor rejeitado (com sinal, será negativo se considerarmos calor do sistema) tem magnitude
|Q_{C}|=N k_{B} T_{C} \ln\!\left(\frac{V_{c}}{V_{d}}\right).
Para a eficiência só precisamos das magnitudes relativas de Q_{H} e Q_{C}.

Passo 5

Relações adiabáticas e conexão entre razões de volume (derivação completa).
  • Em uma adiabática reversível temos dQ=0. Pela primeira lei dU + P\,dV = 0.
  • Usando dU = C_{V}\,dT = \dfrac{f}{2} N k_{B}\,dT e P=\dfrac{N k_{B} T}{V}, obtemos
\frac{f}{2}\,N k_{B}\,dT + \frac{N k_{B} T}{V}\,dV = 0.
Dividindo por N k_{B} e rearranjando,
\frac{f}{2}\,dT + T\,\frac{dV}{V}=0.
Colocando termos em forma integrável,
\frac{dT}{T} + \frac{2}{f}\,\frac{dV}{V}=0.
Integrando entre dois estados da adiabática dá
\ln T + \frac{2}{f}\ln V = \text{const},
ou exponenciando,
T\,V^{2/f}=\text{const}.
  • Note que 2/f=\gamma-1 (porque \gamma=1+2/f), então a forma frequentemente encontrada é
T\,V^{\gamma-1}=\text{const},
ou equivalentemente
P\,V^{\gamma}=\text{const}.
  • Agora aplique isso às duas adiabáticas do ciclo:
    • Para b\to c (adiabática que liga temperatura T_{H} em b a T_{C} em c):
    T_{H} V_{b}^{\gamma-1}=T_{C} V_{c}^{\gamma-1}.
    • Para d\to a (adiabática que liga T_{C} em d a T_{H} em a):
    T_{C} V_{d}^{\gamma-1}=T_{H} V_{a}^{\gamma-1}.
  • Dividindo a primeira equação pela segunda ou manipulando, obtemos
\left(\frac{V_{c}}{V_{b}}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{H}}{T_{C}},\qquad \left(\frac{V_{a}}{V_{d}}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{H}}{T_{C}}.
Logo
\frac{V_{c}}{V_{b}}=\frac{V_{a}}{V_{d}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{V_{b}}{V_{a}}=\frac{V_{c}}{V_{d}}.
Isto é importante porque liga as duas razões de volume que aparecem nos logaritmos dos calores das isotermas.

Passo 6

Cálculo da eficiência do ciclo de Carnot usando as expressões obtidas.
  • Pela definição, eficiência (rendimento) é a fração do calor absorvido que se transforma em trabalho:
\eta=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{H}}=\frac{Q_{H}-|Q_{C}|}{Q_{H}}=1-\frac{|Q_{C}|}{Q_{H}}.í
  • Usando as expressões das isotermas do Passo 4:
|Q_{C}|=N k_{B} T_{C} \ln\!\left(\frac{V_{c}}{V_{d}}\right),\qquad Q_{H}=N k_{B} T_{H} \ln\!\left(\frac{V_{b}}{V_{a}}\right).
  • Pelo resultado do Passo 5 temos \dfrac{V_{c}}{V_{d}}=\dfrac{V_{b}}{V_{a}}. Portanto os logaritmos cancelam quando dividimos:
\frac{|Q_{C}|}{Q_{H}}=\frac{T_{C}}{T_{H}}.
  • Logo a eficiência é
\eta=1-\frac{T_{C}}{T_{H}}.
Observação didática: o rendimento não depende do gás (nem de N nem de f); depende apenas das temperaturas dos reservatórios. Isso é o resultado clássico do ciclo de Carnot e é alcançado aqui explicitamente usando as formulas do gás ideal e das adiabáticas.

Passo 7

Complemento prático (útil na prova): expressão do trabalho líquido em termos das quantidades já conhecidas.
  • O trabalho realizado por ciclo (energia útil) é
W_{\text{líquido}}=Q_{H}-|Q_{C}|=N k_{B}\bigl(T_{H}-T_{C}\bigr)\ln\!\left(\frac{V_{b}}{V_{a}}\right).í
Isso mostra que a quantidade de trabalho por ciclo depende da diferença de temperatura e da razão de volumes usada nas isotermas; mas a eficiência relativa depende só das temperaturas.

Resposta

(a) Ciclo de Carnot para o gás diatômico: isoterma reversível de expansão a T_{H} ( a\to b), adiabática reversível de expansão T_{H}\to T_{C} ( b\to c), isoterma reversível de compressão a T_{C} ( c\to d) e adiabática reversível de compressão T_{C}\to T_{H} ( d\to a). Calores nas isotermas:
Q_{H}=N k_{B} T_{H}\ln\!\left(\frac{V_{b}}{V_{a}}\right),\qquad |Q_{C}|=N k_{B} T_{C}\ln\!\left(\frac{V_{c}}{V_{d}}\right),
com a relação adiabática que garante \dfrac{V_{b}}{V_{a}}=\dfrac{V_{c}}{V_{d}}. (b) Rendimento:
\eta=1-\frac{T_{C}}{T_{H}}.

Exercícios relacionados