Considere um gás ideial diatômico com
moléculas.
(a) Construa um ciclo de Carnot com esse gás
(b) Encontre o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre dois reservatórios térmicos à temperaturas
e
.
(a) Construa um ciclo de Carnot com esse gás
(b) Encontre o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre dois reservatórios térmicos à temperaturas
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Construir (descrever) um ciclo de Carnot cujo fluido de trabalho é um gás ideal diatômico com
moléculas. - (b) Determinar o rendimento (eficiência) de uma máquina de Carnot operando entre dois reservatórios térmicos à temperaturas
e .
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
- O gás é ideal e diatômico. Vou assumir o modelo clássico onde apenas modos de translação e rotações estão ativos (vibrações desprezadas), isto é, número de graus de liberdade
. - O sistema tem
moléculas e a constante de Boltzmann é . - Os processos do ciclo serão reversíveis (como no ciclo de Carnot ideal).
Não faço mais suposições além dessas.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmulas do gás ideal que vamos usar (aula rápida e prática).
- Energia interna de um gás ideal monoatômico/diatômico depende só da temperatura. Em termos do número de graus de liberdade
, a energia interna total é
Aqui
é a energia interna do conjunto de
moléculas,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta.
- Capacidade térmica a volume constante
(para todo o conjunto de moléculas) é a derivada de em relação a :
- Capacidade térmica a pressão constante
satisfaz (pela relação dos calores em gases ideais). Logo
- A razão adiabática (índice adiabático) é
Para gás diatômico com
temos
Essas fórmulas nos dizem como energia e capacidades variam com
e são necessárias para relacionar as transformações adiabáticas e calcular calores nas isotermas.
Passo 3
Descrição passo a passo do ciclo de Carnot (identificando os quatro trechos e os pontos no diagrama
–
). Vou usar letras para os pontos do ciclo:
.
- Trecho 1:
— isoterma reversível a temperatura com expansão do gás (o gás recebe calor do reservatório quente). Nesta isoterma a temperatura do gás é constante e igual a . - Trecho 2:
— expansão adiabática reversível: o sistema expande sem troca de calor e sua temperatura cai de até . - Trecho 3:
— isoterma reversível a temperatura com compressão (o gás rejeita calor para o reservatório frio). Nesta isoterma a temperatura do gás é constante e igual a . - Trecho 4:
— compressão adiabática reversível: a temperatura do gás sobe de até sem troca de calor, retornando ao estado inicial .
Essa é a construção típica do ciclo de Carnot: duas isotermas (às temperaturas dos reservatórios) e duas adiabáticas conectando-as reversivelmente. No diagrama
–
os trechos isotermais são curvas hiperbólicas e as adiabáticas são curvas mais inclinadas; o ciclo é fechado e executado no sentido horário para uma máquina térmica (trabalha produzindo trabalho).
Passo 4
Cálculo do calor trocado nas isotermas (fórmula e derivação passo a passo).
- Em uma transformação isoterma reversível do gás ideal a temperatura
, a energia interna não varia porque depende só da temperatura e é constante. Assim e pela primeira lei (o calor recebido é igual ao trabalho realizado pelo gás). - O trabalho em uma isoterma é
Pelo gás ideal
. Substituindo,
- Aplicando isso ao trecho
(isoterma a ) com volumes e ,
- E ao trecho
(isoterma a ) com volumes e , o calor rejeitado (com sinal, será negativo se considerarmos calor do sistema) tem magnitude
Para a eficiência só precisamos das magnitudes relativas de
e
.
Passo 5
Relações adiabáticas e conexão entre razões de volume (derivação completa).
- Em uma adiabática reversível temos
. Pela primeira lei . - Usando
e , obtemos
Dividindo por
e rearranjando,
Colocando termos em forma integrável,
Integrando entre dois estados da adiabática dá
ou exponenciando,
- Note que
(porque ), então a forma frequentemente encontrada é
ou equivalentemente
- Agora aplique isso às duas adiabáticas do ciclo:
- Para
(adiabática que liga temperatura em a em ):
- Para
(adiabática que liga em a em ):
- Para
- Dividindo a primeira equação pela segunda ou manipulando, obtemos
Logo
Isto é importante porque liga as duas razões de volume que aparecem nos logaritmos dos calores das isotermas.
Passo 6
Cálculo da eficiência do ciclo de Carnot usando as expressões obtidas.
- Pela definição, eficiência (rendimento) é a fração do calor absorvido que se transforma em trabalho:
- Usando as expressões das isotermas do Passo 4:
- Pelo resultado do Passo 5 temos
. Portanto os logaritmos cancelam quando dividimos:
- Logo a eficiência é
Observação didática: o rendimento não depende do gás (nem de
nem de
); depende apenas das temperaturas dos reservatórios. Isso é o resultado clássico do ciclo de Carnot e é alcançado aqui explicitamente usando as formulas do gás ideal e das adiabáticas.
Passo 7
Complemento prático (útil na prova): expressão do trabalho líquido em termos das quantidades já conhecidas.
- O trabalho realizado por ciclo (energia útil) é
Isso mostra que a quantidade de trabalho por ciclo depende da diferença de temperatura e da razão de volumes usada nas isotermas; mas a eficiência relativa depende só das temperaturas.
Resposta
(a) Ciclo de Carnot para o gás diatômico: isoterma reversível de expansão a
(
), adiabática reversível de expansão
(
), isoterma reversível de compressão a
(
) e adiabática reversível de compressão
(
). Calores nas isotermas:
com a relação adiabática que garante
. (b) Rendimento: