Considere um recipiente contendo um fluido de densidade \rho. Encontre a pressão a uma profundidade h nos casos a seguir:
(a) O recipiente é acelerado para cima com aceleraçāo em módulo a.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a pressão a uma profundidade h em um fluido de densidade \rho quando o recipiente é acelerado para cima com aceleração de módulo a.
Informações dadas:
  • Densidade do fluido: \rho.
  • Profundidade medida a partir da superfície livre: h.
  • Aceleração do recipiente (para cima): a.
  • Não foi especificada a pressão na superfície livre; vou denotá‑la por p_0 (se a superfície estiver à pressão atmosférica, então p_0=p_{\mathrm{atm}}).
    Pergunta: expressar a pressão no ponto a profundidade h em termos de \rho, g, a, h e p_0.

Passo 2

Entendendo a ideia física (sem fórmulas ainda): a pressão dentro do fluido aumenta com a profundidade por causa das forças de corpo (peso do fluido). Se o recipiente acelera para cima, do ponto de vista do referencial ligado ao recipiente aparece uma “força fictícia” que age como se aumentasse a gravidade. Ou seja, o fluido sente uma aceleração efetiva para baixo maior do que g. Vamos transformar essa noção em cálculo.

Passo 3

Escolha de coordenadas e forças: tomo o eixo vertical z apontando para cima. A superfície livre está em z=0. Um ponto a profundidade h está em z=-h.
A aceleração da gravidade é o vetor \mathbf{g} = -g\,\hat{z} (com g>0). O referencial do recipiente tem aceleração \mathbf{a} = +a\,\hat{z} (para cima). No referencial não inercial ligado ao recipiente aparece uma aceleração fictícia por unidade de massa igual a -\mathbf{a} = -a\,\hat{z}. Portanto a aceleração efetiva por unidade de massa que produz as forças de corpo é
\mathbf{g}_{\mathrm{ef}} = \mathbf{g} - \mathbf{a} = -(g+a)\,\hat{z},
isto é, uma aceleração dirigida para baixo de magnitude g+a.

Passo 4

Equilíbrio hidrostático no referencial do recipiente: a variação espacial da pressão equilibra as forças de corpo por unidade de volume. Matematicamente,
\nabla p = \rho\,\mathbf{g}_{\mathrm{ef}}.
Como só há variação com z, isso vira a equação escalar
\frac{dp}{dz} = \rho\,(g_z - a_z).
Substituindo g_z=-g e a_z=+a obtemos
\frac{dp}{dz} = -\rho\,(g+a).
Interpretação: a derivada é negativa porque a pressão aumenta quando z diminui (descemos no fluido).

Passo 5

Integração para achar a pressão a profundidade h. Integro entre z=0 (superfície, onde p=p_0) e z=-h (o ponto desejado):
p(-h)-p(0)=\int_{0}^{-h}\frac{dp}{dz}\,dz=\int_{0}^{-h}\big(-\rho(g+a)\big)\,dz.
Como -\rho(g+a) é constante, a integral dá
p(-h)-p_0 = -\rho(g+a)\big(-h-0\big)=\rho(g+a)\,h.
Logo a pressão no ponto a profundidade h é
p = p_0 + \rho\,(g+a)\,h.

Passo 6

Interpretações e checagens rápidas:
  • Se a=0 recuperamos a fórmula conhecida da estática: p=p_0+\rho g h.
  • Como o recipiente acelera para cima, a pressão aumenta mais rápido com a profundidade (efeito de “peso aparente” maior), por isso aparece g+a.
  • Se a superfície estiver à pressão atmosférica, basta pôr p_0=p_{\mathrm{atm}}.

Resposta

p = p_0 + \rho\,(g+a)\,h

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