Considere um recipiente contendo um fluido de densidade
. Encontre a pressão a uma profundidade
nos casos a seguir:
(a) O recipiente é acelerado para cima com aceleraçāo em módulo
.
(a) O recipiente é acelerado para cima com aceleraçāo em módulo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a pressão a uma profundidade
em um fluido de densidade
quando o recipiente é acelerado para cima com aceleração de módulo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Densidade do fluido:
. - Profundidade medida a partir da superfície livre:
. - Aceleração do recipiente (para cima):
. - Não foi especificada a pressão na superfície livre; vou denotá‑la por
(se a superfície estiver à pressão atmosférica, então ).
Pergunta: expressar a pressão no ponto a profundidadeem termos de , , , e .
Passo 2
Entendendo a ideia física (sem fórmulas ainda): a pressão dentro do fluido aumenta com a profundidade por causa das forças de corpo (peso do fluido). Se o recipiente acelera para cima, do ponto de vista do referencial ligado ao recipiente aparece uma “força fictícia” que age como se aumentasse a gravidade. Ou seja, o fluido sente uma aceleração efetiva para baixo maior do que
. Vamos transformar essa noção em cálculo.
Passo 3
Escolha de coordenadas e forças: tomo o eixo vertical
apontando para cima. A superfície livre está em
. Um ponto a profundidade
está em
.
A aceleração da gravidade é o vetor (com
). O referencial do recipiente tem aceleração
(para cima). No referencial não inercial ligado ao recipiente aparece uma aceleração fictícia por unidade de massa igual a
. Portanto a aceleração efetiva por unidade de massa que produz as forças de corpo é
A aceleração da gravidade é o vetor
isto é, uma aceleração dirigida para baixo de magnitude
.
Passo 4
Equilíbrio hidrostático no referencial do recipiente: a variação espacial da pressão equilibra as forças de corpo por unidade de volume. Matematicamente,
Como só há variação com
, isso vira a equação escalar
Substituindo
e
obtemos
Interpretação: a derivada é negativa porque a pressão aumenta quando
diminui (descemos no fluido).
Passo 5
Integração para achar a pressão a profundidade
. Integro entre
(superfície, onde
) e
(o ponto desejado):
Como
é constante, a integral dá
Logo a pressão no ponto a profundidade
é
Passo 6
Interpretações e checagens rápidas:
- Se
recuperamos a fórmula conhecida da estática: . - Como o recipiente acelera para cima, a pressão aumenta mais rápido com a profundidade (efeito de “peso aparente” maior), por isso aparece
. - Se a superfície estiver à pressão atmosférica, basta pôr
.