(0,2) Considere um gás ideal com N moléculas monoatômicas. Encontre a capacidade calorífica a pressão constate do sistema e constua seu gráfico como função da temperatura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Temos um gás ideal formado por N moléculas monoatômicas.
  • Devemos encontrar a capacidade calorífica à pressão constante do sistema.
  • Devemos construir (descrever) o gráfico dessa capacidade calorífica como função da temperatura.
Informações relevantes extraídas: número de partículas N; gás monoatômico (cada molécula tem só três graus de liberdade de translação); comportamento de gás ideal (onde pV=Nk_B T). Nada mais será assumido sem explicar.

Passo 2

Vamos entender a energia interna do gás — isto é fundamental para achar capacidades térmicas.
Conceito usado: princípio da equipartição de energia (clássico). Ele diz que, para cada grau de liberdade quadrático, a energia média por partícula é \tfrac{1}{2}k_B T, onde:
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B\approx 1{,}3806\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Uma molécula monoatômica tem apenas os 3 graus de liberdade de translação (movimento em x,y,z). Portanto a energia média por molécula é
\frac{3}{2}k_B T.
Para o conjunto de N moléculas, a energia interna total do gás é a soma das energias das partículas, logo
U(T)=N\cdot\frac{3}{2}k_B T=\frac{3}{2}N k_B T.
Explicação prática: se N=1 (uma partícula), U=\tfrac{3}{2}k_B T. Para N partículas, multiplicamos por N.

Passo 3

Definição de capacidade calorífica (à volume e à pressão): primeiro precisamos distinguir conceitos.
A capacidade calorífica à volume constante é definida por
C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}.
Aqui \partial U/\partial T significa a derivada da energia interna em relação à temperatura, mantendo o volume fixo. No nosso caso a fórmula de U(T) é linear em T, então calcular a derivada é direto.
Usando \;U(T)=\tfrac{3}{2}N k_B T\;, diferenciando em relação a T:
C_V=\frac{d}{dT}\left(\frac{3}{2}N k_B T\right)=\frac{3}{2}N k_B.
Interpretação: C_V é constante (independe de T) neste modelo clássico para gás monoatômico.

Passo 4

Agora vamos ao objetivo principal: capacidade calorífica à pressão constante C_p.
Definição: a entalpia H do sistema é
H=U+pV.
A capacidade a pressão constante é
C_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}.
Para um gás ideal vale a equação de estado
pV=Nk_B T.
Substituindo em H:
H = U + pV = \frac{3}{2}N k_B T + Nk_B T = \frac{5}{2}N k_B T.
Agora derivamos em relação a T (à pressão constante, mas observe que para gás ideal pV já foi escrito em função de T, e H depende só de T):
C_p=\frac{d}{dT}\left(\frac{5}{2}N k_B T\right)=\frac{5}{2}N k_B.
Comentário (Mayer): essa relação pode ser vista mais diretamente como a relação de Mayer para gases ideais:
C_p-C_V = Nk_B,
o que com C_V=\tfrac{3}{2}N k_B C_p=\tfrac{5}{2}N k_B.

Passo 5

Interpretação física e formas alternativas:
  • O resultado é uma constante (não depende de T) dentro do modelo clássico: \;C_p=\tfrac{5}{2}N k_B\;.
  • Se quisermos a capacidade por mol, escrevemos N=nN_A (com n número de mols e N_A a constante de Avogadro) e usamos R=N_A k_B. Assim a capacidade molar a pressão constante para gás monoatômico é
\bar{C}_p=\frac{5}{2}R,
que numericamente vale aproximadamente \bar{C}_p\approx\frac{5}{2}\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\approx 20{,}8\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Observação prática: na vida real, em temperaturas muito baixas ou quando efeitos quânticos entram, a equipartição pode falhar e C_p pode variar com T. Mas para uma prova básica de termodinâmica clássica, o modelo acima é o que se pede.

Passo 6

Construção do gráfico C_p em função da temperatura T:
  • Eixo horizontal: temperatura T (em kelvin).
  • Eixo vertical: capacidade calorífica C_p.
  • Como C_p é independente de T no resultado clássico, o gráfico é uma reta horizontal com valor
C_p(T)=\frac{5}{2}N k_B.
Descrição visual: uma linha reta paralela ao eixo T, cruzando o eixo vertical em \tfrac{5}{2}N k_B.

Resposta

\displaystyle C_p=\frac{5}{2}N k_B\n
Gráfico: reta horizontal \displaystyle C_p(T)=\frac{5}{2}N k_B (constante, independente de T).

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