Considere um gás ideal com
moléculas monoatômicas. Encontre a capacidade calorífica a pressão constate do sistema e constua seu gráfico como função da temperatura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- Temos um gás ideal formado por
moléculas monoatômicas. - Devemos encontrar a capacidade calorífica à pressão constante do sistema.
- Devemos construir (descrever) o gráfico dessa capacidade calorífica como função da temperatura.
Informações relevantes extraídas: número de partículas
; gás monoatômico (cada molécula tem só três graus de liberdade de translação); comportamento de gás ideal (onde
). Nada mais será assumido sem explicar.
Passo 2
Vamos entender a energia interna do gás — isto é fundamental para achar capacidades térmicas.
Conceito usado: princípio da equipartição de energia (clássico). Ele diz que, para cada grau de liberdade quadrático, a energia média por partícula é
, onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Uma molécula monoatômica tem apenas os 3 graus de liberdade de translação (movimento em
). Portanto a energia média por molécula é
Para o conjunto de
moléculas, a energia interna total do gás é a soma das energias das partículas, logo
Explicação prática: se
(uma partícula),
. Para
partículas, multiplicamos por
.
Passo 3
Definição de capacidade calorífica (à volume e à pressão): primeiro precisamos distinguir conceitos.
A capacidade calorífica à volume constante é definida por
Aqui
significa a derivada da energia interna em relação à temperatura, mantendo o volume fixo. No nosso caso a fórmula de
é linear em
, então calcular a derivada é direto.
Usando
, diferenciando em relação a
:
Interpretação:
é constante (independe de
) neste modelo clássico para gás monoatômico.
Passo 4
Agora vamos ao objetivo principal: capacidade calorífica à pressão constante
.
Definição: a entalpia
do sistema é
A capacidade a pressão constante é
Para um gás ideal vale a equação de estado
Substituindo em
:
Agora derivamos em relação a
(à pressão constante, mas observe que para gás ideal
já foi escrito em função de
, e
depende só de
):
Comentário (Mayer): essa relação pode ser vista mais diretamente como a relação de Mayer para gases ideais:
o que com
dá
.
Passo 5
Interpretação física e formas alternativas:
- O resultado é uma constante (não depende de
) dentro do modelo clássico: . - Se quisermos a capacidade por mol, escrevemos
(com número de mols e a constante de Avogadro) e usamos . Assim a capacidade molar a pressão constante para gás monoatômico é
que numericamente vale aproximadamente
.
Observação prática: na vida real, em temperaturas muito baixas ou quando efeitos quânticos entram, a equipartição pode falhar e
pode variar com
. Mas para uma prova básica de termodinâmica clássica, o modelo acima é o que se pede.
Passo 6
Construção do gráfico
em função da temperatura
:
- Eixo horizontal: temperatura
(em kelvin). - Eixo vertical: capacidade calorífica
. - Como
é independente de no resultado clássico, o gráfico é uma reta horizontal com valor
Descrição visual: uma linha reta paralela ao eixo
, cruzando o eixo vertical em
.
Resposta
Gráfico: reta horizontal