( 0,2 ) Considere um gás ideal com
moléculas monoatômicas. Encontre a capacidade calorífica a volume constate do sistema e constua seu gráfico como função da temperatura.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a capacidade calorífica a volume constante do sistema formado por
moléculas monoatômicas de um gás ideal; (2) construir (descrever) o gráfico dessa capacidade como função da temperatura.
Informações dadas (explicitadas): é o número de moléculas, o gás é ideal e as moléculas são monoatômicas. Não há outros dados numéricos fornecidos.
Informações dadas (explicitadas):
Passo 2
Entender o que é energia interna do gás e como ela depende da temperatura. Vou explicar o conceito que precisamos usar: em um gás ideal monoatômico cada molécula possui apenas energia cinética de translação (três graus de liberdade: movimento em
). Pelo princípio da equipartição de energia, em equilíbrio térmico cada grau de liberdade translacional tem energia média igual a
, onde:
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta. Então a energia média por molécula é a soma das três contribuições de translação:
Explicando devagar:
significa “energia média de uma molécula” — a razão pela qual é proporcional a
é que temperatura mede a energia cinética média no gás. A constante
converte temperatura (kelvin) em energia (joules).
Passo 3
Calcular a energia interna total
do sistema com
moléculas. Como as moléculas são idênticas e independentes, multiplicamos a energia média por molécula pelo número de moléculas:
Escrevendo de forma mais direta:
Aqui
é a energia interna total (unidade: joules se usarmos
em J/K e
em K). Observe que
é linear em
: duplicando
duplica
.
Passo 4
Definição de capacidade calorífica a volume constante. A capacidade calorífica a volume constante
é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo o volume fixo; em termos de energia interna:
Aqui a derivada é em relação a
mantendo
fixo (mas para gás ideal monoatômico
não depende de
, apenas de
). Agora aplicamos a definição usando a expressão que obtivemos para
.
Passo 5
Calcular a derivada e obter
. A expressão de
é linear em
, então a derivada é simples:
Interpretação:
é constante (não depende de
) e proporcional a
. Em unidades internacionais, se preferirmos expressar por mols: lembre que a constante dos gases é
, onde
é o número de Avogadro. Para
mols com
obtemos a forma usual:
Se quiser um número prático por mol, usando
:
Mas a resposta exata em termos de
é a expressão com
.
Passo 6
Construir e descrever o gráfico
em função de
. Como mostramos,
não depende de
; portanto o gráfico é uma linha horizontal. Especificando eixos:
- Eixo horizontal: temperatura
(unidade: K). - Eixo vertical: capacidade calorífica
(unidade: J/K).
A linha horizontal tem valor
para todo
no intervalo físico onde a aproximação clássica (equipartição) é válida. Visualmente: uma reta paralela ao eixo
passando pelo nível
.
Passo 7
Observação física curta (útil na prova): a constância de
vem da equipartição clássica. Em temperaturas muito baixas, efeitos quânticos podem invalidar a equipartição e
pode variar com
(cair para zero quando
). Mas para a maioria dos problemas de termodinâmica clássica de graduação a resposta correta e esperada é a constante que encontramos.
Resposta
Forma por mol:
Gráfico: reta horizontal
(constante em função de
).