( 0,2 ) Considere um gás ideal com N moléculas monoatômicas. Encontre a capacidade calorífica a volume constate do sistema e constua seu gráfico como função da temperatura.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a capacidade calorífica a volume constante do sistema formado por N moléculas monoatômicas de um gás ideal; (2) construir (descrever) o gráfico dessa capacidade como função da temperatura.
Informações dadas (explicitadas): N é o número de moléculas, o gás é ideal e as moléculas são monoatômicas. Não há outros dados numéricos fornecidos.

Passo 2

Entender o que é energia interna do gás e como ela depende da temperatura. Vou explicar o conceito que precisamos usar: em um gás ideal monoatômico cada molécula possui apenas energia cinética de translação (três graus de liberdade: movimento em x,y,z). Pelo princípio da equipartição de energia, em equilíbrio térmico cada grau de liberdade translacional tem energia média igual a \tfrac{1}{2}k_B T, onde:
k_B
é a constante de Boltzmann e
T
é a temperatura absoluta. Então a energia média por molécula é a soma das três contribuições de translação:
\langle \varepsilon\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T.
Explicando devagar: \langle \varepsilon\rangle significa “energia média de uma molécula” — a razão pela qual é proporcional a T é que temperatura mede a energia cinética média no gás. A constante k_B converte temperatura (kelvin) em energia (joules).

Passo 3

Calcular a energia interna total U do sistema com N moléculas. Como as moléculas são idênticas e independentes, multiplicamos a energia média por molécula pelo número de moléculas:
U = N \langle \varepsilon\rangle = N \cdot \tfrac{3}{2}k_B T.
Escrevendo de forma mais direta:
U = \tfrac{3}{2} N k_B T.
Aqui U é a energia interna total (unidade: joules se usarmos k_B em J/K e T em K). Observe que U é linear em T: duplicando T duplica U.

Passo 4

Definição de capacidade calorífica a volume constante. A capacidade calorífica a volume constante C_V é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo o volume fixo; em termos de energia interna:
C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}.
Aqui a derivada é em relação a T mantendo V fixo (mas para gás ideal monoatômico U não depende de V, apenas de T). Agora aplicamos a definição usando a expressão que obtivemos para U.

Passo 5

Calcular a derivada e obter C_V. A expressão de U é linear em T, então a derivada é simples:
C_V = \frac{d}{dT}\left(\tfrac{3}{2} N k_B T\right) = \tfrac{3}{2} N k_B.
Interpretação: C_V é constante (não depende de T) e proporcional a N. Em unidades internacionais, se preferirmos expressar por mols: lembre que a constante dos gases é \,R = N_A k_B, onde N_A é o número de Avogadro. Para n mols com n = N/N_A obtemos a forma usual:
C_V = \tfrac{3}{2} n R.
Se quiser um número prático por mol, usando R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
C_V \approx \tfrac{3}{2}\cdot 8{,}314 \approx 12{,}47\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Mas a resposta exata em termos de N é a expressão com k_B.

Passo 6

Construir e descrever o gráfico C_V em função de T. Como mostramos, C_V não depende de T; portanto o gráfico é uma linha horizontal. Especificando eixos:
  • Eixo horizontal: temperatura \,T (unidade: K).
  • Eixo vertical: capacidade calorífica \,C_V (unidade: J/K).
    A linha horizontal tem valor
C_V(T)=\tfrac{3}{2}N k_B
para todo T no intervalo físico onde a aproximação clássica (equipartição) é válida. Visualmente: uma reta paralela ao eixo T passando pelo nível \tfrac{3}{2}N k_B.

Passo 7

Observação física curta (útil na prova): a constância de C_V vem da equipartição clássica. Em temperaturas muito baixas, efeitos quânticos podem invalidar a equipartição e C_V pode variar com T (cair para zero quando T\to 0). Mas para a maioria dos problemas de termodinâmica clássica de graduação a resposta correta e esperada é a constante que encontramos.

Resposta

C_V=\tfrac{3}{2}N k_B
Forma por mol:
C_V=\tfrac{3}{2}n R
Gráfico: reta horizontal C_V(T)=\tfrac{3}{2}N k_B (constante em função de T).

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