Considere um gás de
moléculas não interagentes fechado num recipiente de volume
. Imagine um subvolume
deste contêiner e denote por
o número de moléculas localizadas dentro deste subvolume. Cada molécula é igualmente provável de estar localizada em qualquer lugar dentro do contêiner; daí a probabilidade de que uma determinada molécula esteja localizada dentro do subvolume
é simplesmente igual para
. (a) Qual é o número médio
de moléculas estarem localizadas dentro de
? Expressar sua resposta nos termos
e
. (b) Encontre a dispersão relativa
do número de moléculas localizado em
. Expresse sua resposta em termos de
e
. (c) O que acontece com a resposta da parte (b) quando
? (d) Qual deve ser o valor da dispersão
quando
? A resposta da parte (b) está de acordo com este valor esperado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
- Informação: há
moléculas não interagentes num recipiente de volume . - Informação: escolheu-se um subvolume
dentro do contêiner. - Informação: cada molécula tem probabilidade igual de estar em qualquer ponto do contêiner, então a probabilidade de uma molécula estar no subvolume
é . - Definição:
é o número de moléculas que, numa realização, estão localizadas dentro do subvolume (ou seja, é uma variável aleatória).
Perguntas:
(a) Calcular o valor médio (em termos de
).
(b) Calcular a dispersão relativa (expressar em termos de
e
; veremos as formas equivalentes).
(c) O que acontece com a resposta da parte (b) quando ?
(d) Qual é o valor esperado da dispersão quando
? A resposta da parte (b) é consistente com esse limite?
(a) Calcular o valor médio
(b) Calcular a dispersão relativa
(c) O que acontece com a resposta da parte (b) quando
(d) Qual é o valor esperado da dispersão
Passo 2
Modelo probabilístico e ideia de solução (intuição passo-a-passo, tipo “aula” curta).
- Para cada molécula
estiver em
,}\[4pt] 0, &caso contrário.\end{cases}]Essas são variáveis de Bernoulli com probabilidade de sucesso . - O número total de moléculas em
é a soma dessas variáveis: - Como as moléculas são não interagentes e cada uma tem probabilidade independente
de estar em , podemos usar propriedades simples de esperança e variância de somas de variáveis independentes: - Esperança (média) de soma = soma das esperanças.
- Variância de soma de variáveis independentes = soma das variâncias.
- Para uma Bernoulli com parâmetro
: e .
Vou aplicar essas fórmulas explícitas nos passos seguintes.]
Passo 3
Cálculo do valor médio
.
- Primeiro, a esperança de cada
é . - Usando linearidade da esperança:
- Substituindo
obtemos
Breve interpretação: a média é simplesmente o total de moléculas multiplicado pela fração volumétrica
. Isso é intuitivo: se
do volume é
, em média
das moléculas estarão lá.
Passo 4
Cálculo da variância
.
- Para cada
temos . - Como as
são independentes, - Substituindo
obtemos
Observação didática: essa fórmula é a variância da distribuição binomial
. Intuitivamente, se
é intermediário (por exemplo
) a variância é maior; se
é 0 ou 1 a variância vai a zero porque o número de sucessos é determinístico.
Passo 5
Cálculo da dispersão relativa pedida em (b).
- A dispersão relativa pedida é
- Já temos
e . Então - Substituindo
dá uma forma em termos de : - Também é útil escrever em termos de
(pois ):
Comentário prático: essa última forma mostra que, para
grande, as flutuações relativas ficam pequenas (escala típica ~
para o desvio padrão relativo), e que há um fator
que corrige quando
não é pequeno comparado a
.
Passo 6
Limite para (c): comportamento quando
.
- Se
então é muito pequeno e . - Assim, da forma
obtem-se, aproximadamente, - Interpretação: quando o subvolume é muito pequeno, as flutuações relativas do número de moléculas em
são aproximadamente . Como tende a ser pequeno também, a fração de flutuação pode ser grande (ou seja, variabilidade relativa alta).
Passo 7
Limite para (d): comportamento quando
.
- Se
então . Nesse caso todo o contêiner é o subvolume, logo em qualquer realização com certeza; portanto a variância deve tender a zero: - Conferindo com a fórmula da parte (b)/(4): como
, quando temos . Portanto a expressão obtida nas partes anteriores é consistente com o limite esperado.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para :
(pois
).
(d) Quando :
. A expressão da parte (b) é compatível com esse limite (pois nela
implica variância
).
(b)
(c) Para
(d) Quando