Suponha que no problema anterior o volume
assumido seja tal que
. Qual é a probabilidade de que o número de moléculas neste volume esteja entre
e
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (clarinho e sem resolver nada ainda).
- Pede-se: a probabilidade de que o número de moléculas dentro de um pequeno volume
caia entre e . - Dados/assunções implícitas que vou usar (comuns nesse tipo de problema):
- Há um recipiente de volume total
que contém moléculas (assume‑se grande). - As moléculas são independentes e uniformemente distribuídas no volume total.
- O subvolume
é pequeno comparado a : .
- Há um recipiente de volume total
- Notação que vou usar:
-
é a probabilidade de uma molécula estar no subvolume . -
será a média do número de moléculas no volume ; vou mostrar a relação com e .
-
Passo 2
Modelagem básica: por que começar pelo binomial.
- Cada uma das
moléculas pode estar dentro de com probabilidade (e fora com probabilidade ), independentemente das demais. - Isso é o cenário clássico para uma variável aleatória binomial: o número
de moléculas em tem distribuição
onde
conta as maneiras de escolher quais
moléculas estão em
.
- A média dessa binomial é
Defino então
Este
é a média esperada (também será a variância) do número de moléculas no subvolume.
Passo 3
Por que podemos passar do binomial para Poisson (limite adequado quando
é pequeno).
- A condição
significa e, com grande, é natural ter finito. - Tomamos o limite clássico
, com fixo. Nesse limite a binomial converge para a distribuição de Poisson. Vou mostrar a conta curta e intuitiva: - Escrevendo explicitamente a combinação como produto:
- Para
muito grande e não maciçamente proporcional a , o numerador pode ser aproximado por (pois para fixo), então
- Além disso
quando e . - Com isso, a expressão da binomial fica, aproximadamente,
- Essa é precisamente a distribuição de Poisson. A derivação acima é a forma usual de justificar o limite binomial
Poisson quando é pequeno e grande.
Passo 4
Escrevendo claramente a distribuição de Poisson e interpretando-a.
- Assim, a probabilidade exata (no limite indicado) de encontrar exatamente
moléculas no volume é
onde
e
é a densidade média de moléculas no recipiente.
- Propriedades úteis (muito importantes em provas!):
- Média:
. - Variância:
. Ou seja, na Poisson a média e a variância são iguais.
- Média:
- Observação sobre a notação do enunciado: se "entre
e " for entendida no sentido discreto (contando inteiros), a probabilidade de exatamente é . Se o enunciado quer uma probabilidade infinitesimal em tratado como contínuo (caso grande), convém a aproximação contínua abaixo.
Passo 5
Aproximação contínua (Gaussiana) para
grande — útil quando aparece
.
- Para médias grandes
, a Poisson pode ser aproximada por uma distribuição normal (teorema do limite central). Vou mostrar uma derivação rápida usando a fórmula de Stirling: - Stirling:
para grande. - Substituindo em
dá, após simplificar,
- Expandindo a função no expoente em torno de
(desenvolvimento em série até termos quadráticos) resulta no grande termo quadrático
e o fator prefatorial fica . O resultado é a aproximação normal - Stirling:
- Assim, se tratar
como variável contínua e pedir a probabilidade de estar entre e , usa-se
válido quando
é grande (e
pequeno comparado a
).
Passo 6
Resumo prático (o que levar para a prova e quando usar cada fórmula).
- Se o número de partículas é contado como inteiro (modelo exato para o limite
com fixo), usar Poisson:
- Se
for grande e o enunciado pede probabilidade para um intervalo pequeno (trato contínuo), usar a aproximação Gaussiana: