Considere um gás que obedece a equação de van der Walls: (P+av^2)(v-b)=R T, onde a e b são constantes positivas.
(a) Calcule (partial Tpartial V)u para este gás em função de C, e das variáveis e constantes compreendidas na equação dada.
(b) Suponha que o gás sofra uma expansão livre ( U=cte ). A temperatura do gás deve aumentar, diminuir ou permanecer constante?

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede. A gente tem um gás que obedece à equação de van der Waals
l(P + av^2r),(v - b) = R,T,
com e constantes positivas.
(a) Queremos achar em função de e das variáveis e constantes.
(b) Depois, analisamos numa expansão livre ( ) se a temperatura aumenta, diminui ou fica igual.
O conteúdo é termodinâmica: vamos usar a 1ª lei e relações de Maxwell para expressar em termos de e .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a diferencial de energia interna de duas maneiras:
  1. Na forma fundamental
dU = T,dS - P,dV
  1. Em função de suas variáveis naturais dU = l(partial Upartial Tr)V,dT + l(partial Upartial Vr)T,dV e 0 = CV,dT + l(partial Upartial Vr)T,dV Longrightarrow l(dTdVr)U = -(partial U/partial V)TCV
Por definição, .
Como queremos , impomos :

Passo 3

Agora precisamos de l(partial Upartial Vr)T = T,l(partial Ppartial Tr)V - P .
Da primeira forma de e usando , chega-se à relação de Maxwell
Isso é clássico em termodinâmica – vale decorar ou derivar a partir de .

Passo 4

Para o gás de van der Waals, isolamos P(T,v) = R,Tv - b ;-; av^2 como função de l(partial Ppartial Tr)V ;=;Rv - b e T,( partial P/partial T )V = R,Tv - b :
TRv-b - l[R,Tv-b-av^2r] = av^2
Calculamos
Então
Substituindo em :
(Atenção ao sinal: , logo .)

Passo 5

Voltando ao passo 2,
l(partial Tpartial Vr)U = -(partial U/partial V)TCV = -T,(partial P/partial T)V - PCV = -a/v^2CV

Resposta

(a)
(b) Como esse derivado é negativo, na expansão livre ( aumenta e constante) a temperatura diminui.

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