Encontre as três equações de estado na representação entrópica com a equação fundamental:
u=(thetaR) S^2 e^-v^2v0^2

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho. A questão dá a equação fundamental na forma
u = thetaR,S^2;exp!l(-v^2v0^2r)
e pede as três equações de estado na representação entrópica, ou seja, a gente quer e daí os três potenciais intensivos:
  1. (temperatura)
  2. (pressão)
  3. (potencial químico)
O que vamos precisar:
  • Inverter a relação para achar .
  • Usar derivadas parciais para achar e .
  • Notar o que acontece com (aqui não aparece na equação, então vai ficar simples).

Passo 2

Primeiro a gente inverte a fórmula pra isolar u = thetaR , S^2 , e^-v^2/v0^2 ;Longrightarrow; S^2 = u,Rtheta;e^,v^2/v0^2 ;Longrightarrow; boxed S(u,v) = raizu,Rtheta;exp!l(v^22,v0^2r) .
Aqui a ideia teórica é: na representação entrópica, nossa variável “principal” é , então expressamos em função de e .

Passo 3

Agora calculamos
1T ;=;l(partial Spartial ur)v
Pegando partial Spartial u = 12,l(Rthetar)^!1/2,u^-1/2, exp!l(v^22v0^2r) = 12,raizRtheta,u;exp!l(v^22v0^2r) , deriva em relação a boxed 1T = 12,raizRtheta,u;exp!l(v^22v0^2r) (tratando como constante):
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Passo 4

Em seguida fazemos
pT ;=;l(partial Spartial vr)u
Agora partial Spartial v = raizu,Rtheta;exp!l(v^22v0^2r);cdot;ddvl(v^22v0^2r) = raizu,Rtheta;exp!l(v^22v0^2r);vv0^2 é constante e derivamos em boxed pT = raizu,Rtheta;vv0^2;exp!l(v^22v0^2r) :
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Passo 5

Por fim, para o potencial químico na forma partial Spartial N = 0 Longrightarrow boxed muT = 0 :
a equação fundamental não depende de (elas estão em “por mol” ou “por unidade” já), então

Resposta

As três equações de estado na representação entrópica são:
  1. .

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