Considere uma gota hemisférica de água líquida residindo sobre uma superfície plana. Ainda ar envolve a gota. A uma distância infinitamente longa do filme de gás, a concentração de o vapor de água é efetivamente zero. A uma temperatura constante de
e pressão total de 1,0 atm, a taxa de evaporação da gota é controlada pela taxa de difusão molecular através o ar parado. Determine o tempo que a gota de água levará para evaporar completamente 308 C e 1,0 atm de pressão total do sistema se o raio inicial da gota for 5 mm . A pressão de vapor de água a 308 C pode ser encontrada nas tabelas de vapor.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma gota de água em forma de hemisfério (metade de uma esfera) apoiada num plano, temperatura constante de 308 K (tá escrito “°C” mas na prática faz mais sentido ser 308 K), pressão total 1 atm, e o ar em volta está parado. Longe da gota, a concentração de vapor d’água é zero, então a evaporação é puramente controlada pela difusão molecular no ar. O raio inicial da gota é
mm. A gente precisa achar o tempo que essa gota leva pra evaporar completamente.
Conteúdo: transferência de massa por difusão (Lei de Fick), geometria esférica/hemisférica, propriedades de vapor (pressão de vapor
e concentração de vapor
). Na resolução vamos precisar:
- Formulação da taxa de evaporação por difusão em torno de um corpo esférico/hemisférico.
- Integração da equação diferencial para achar o tempo total.
- Valor de
a 308 K e coeficiente de difusão do vapor d’água no ar.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação da taxa de massa evaporada por difusão.
Num regime estacionário para uma esfera isolada em ar, a concentração de vapor
em função da distância
do centro satisfaz
com condições de contorno (na superfície) e
. A solução é
com condições de contorno
O fluxo molar na superfície (
) é
$$j = -D\left.\frac{dc}{dr}\right|_{r=R}
= D,\frac{c_s}{R},.
\dot m = \bigl(fluxo molar\bigr)\times M;\times A
= \Bigl(D,\frac{c_s}{R}\Bigr);M;\bigl(2\pi R^2\bigr)
= 2\pi,D,M,c_s,R, $$
onde é a massa molar da água.
onde
Passo 3
Agora relacionamos
com a variação do volume (e do raio). O volume do hemisfério é
$$V = \frac23\pi R^3,\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dV}{dR}=2\pi R^2,.
\rho,\frac{dV}{dt} = -,2\pi,D,M,c_s,R
;\Longrightarrow;
\rho,(2\pi R^2)\frac{dR}{dt} = -2\pi,D,M,c_s,R,.
\rho,R,\frac{dR}{dt} = -,D,M,c_s
\quad\Longrightarrow\quad
R,dR = -\frac{D,M,c_s}{\rho},dt,. $$
Passo 4
Integramos de
até
para achar o tempo total
:
Agora vamos aos valores numéricos:
-
mm m -
kg/m³ -
m²/s (difusão do vapor no ar) -
kg/mol - Pressão de vapor a 308 K (35 °C)
atm - Concentração molar
mol/m³ - Concentração mássica
kg/m³.
Substituindo em
$$t = \frac{1000\cdot25\times10{-6}}{2\cdot8.0\times10{-7}}
= \frac{0.025}{1.6\times10^{-6}} \approx1.56\times10^{4},s\approx4{,}3;h,. $$
Resposta
O tempo de evaporação completa da gota hemisférica é cerca de