Considere uma gota hemisférica de água líquida residindo sobre uma superfície plana. Ainda ar envolve a gota. A uma distância infinitamente longa do filme de gás, a concentração de o vapor de água é efetivamente zero. A uma temperatura constante de 308^circ C e pressão total de 1,0 atm, a taxa de evaporação da gota é controlada pela taxa de difusão molecular através o ar parado. Determine o tempo que a gota de água levará para evaporar completamente 308 C e 1,0 atm de pressão total do sistema se o raio inicial da gota for 5 mm . A pressão de vapor de água a 308 C pode ser encontrada nas tabelas de vapor.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma gota de água em forma de hemisfério (metade de uma esfera) apoiada num plano, temperatura constante de 308 K (tá escrito “°C” mas na prática faz mais sentido ser 308 K), pressão total 1 atm, e o ar em volta está parado. Longe da gota, a concentração de vapor d’água é zero, então a evaporação é puramente controlada pela difusão molecular no ar. O raio inicial da gota é R0=5,mm. A gente precisa achar o tempo que essa gota leva pra evaporar completamente.
Conteúdo: transferência de massa por difusão (Lei de Fick), geometria esférica/hemisférica, propriedades de vapor (pressão de vapor psat e concentração de vapor cs). Na resolução vamos precisar:
  • Formulação da taxa de evaporação por difusão em torno de um corpo esférico/hemisférico.
  • Integração da equação diferencial para achar o tempo total.
  • Valor de psat a 308 K e coeficiente de difusão D do vapor d’água no ar.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação da taxa de massa evaporada por difusão.
Num regime estacionário para uma esfera isolada em ar, a concentração de vapor c(r) em função da distância r do centro satisfaz 0 = D,1r^2ddrl(r^2dcdrr)
com condições de contorno c(R)=cs (na superfície) e c(infty)=0. A solução é
c(r)=cs,Rr,
O fluxo molar na superfície ( r=R) é
$$j = -D\left.\frac{dc}{dr}\right|_{r=R}
= D,\frac{c_s}{R},. j = -Ddcdr|r=R = D,csR, ééáéé\dot m = \bigl(fluxo molar\bigr)\times M;\times A
= \Bigl(D,\frac{c_s}{R}\Bigr);M;\bigl(2\pi R^2\bigr)
= 2\pi,D,M,c_s,R, $$
onde A=2pi R^2 é a massa molar da água.

Passo 3

Agora relacionamos dot m com a variação do volume (e do raio). O volume do hemisfério é
$$V = \frac23\pi R^3,\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dV}{dR}=2\pi R^2,. V = 23pi R^3,,Longrightarrow dVdR=2pi R^2, ³á\rho,\frac{dV}{dt} = -,2\pi,D,M,c_s,R
;\Longrightarrow;
\rho,(2\pi R^2)\frac{dR}{dt} = -2\pi,D,M,c_s,R,. dot m = rho,dVdt\rho,R,\frac{dR}{dt} = -,D,M,c_s
\quad\Longrightarrow\quad
R,dR = -\frac{D,M,c_s}{\rho},dt,. $$

Passo 4

Integramos de R0 até 0 para achar o tempo total t:
integralR0^0R,dR = -D,M,csrhointegral0^tdt Longrightarrow R0^22 = D,M,csrho,t ;;Longrightarrow;; t = rho,R0^22,D,M,cs,
Agora vamos aos valores numéricos:
  • R0=5,mm =5times10^-3,m
  • rho=1000,kg/m³
  • Dapprox2.0times10^-5,m²/s (difusão do vapor no ar)
  • M=0.018,kg/mol
  • Pressão de vapor a 308 K (35 °C) ;psatapprox0.055,atm
  • Concentração molar cs = dfracpsatRu,T = dfrac0.055times1.013times10^58.314times308approx2.2,mol/m³
  • Concentração mássica M,csapprox0.018times2.2approx0.040,kg/m³.
Substituindo em
t = 1000,(5times10^-3)^22,(2.0times10^-5),(0.040);s
$$t = \frac{1000\cdot25\times10{-6}}{2\cdot8.0\times10{-7}}
= \frac{0.025}{1.6\times10^{-6}} \approx1.56\times10^{4},s\approx4{,}3;h,. $$

Resposta

O tempo de evaporação completa da gota hemisférica é cerca de
boxedt approx 1,6times10^4 s approx 4,4 horas

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