Considere as grandezas (dx/dt) { }^{2} e d^{2} x / d t^{2}. (a) As duas são expressões diferentes para representar a mesma coisa? (b) Quais são as unidades SI das duas grandezas?

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas expressões envolvendo derivadas de x em relação a t:
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}
\tfrac{d^{2}x}{dt^{2}}
Queremos (a) ver se representam a mesma coisa e (b) encontrar as unidades SI de cada uma. Para isso usaremos conceitos básicos de derivada e de análise dimensional.

Passo 2

A expressão
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}
significa “primeiro calcule \tfrac{dx}{dt}” (que é a velocidade) e só então eleve o resultado ao quadrado. Em símbolos: se v(t)=\tfrac{dx}{dt}, então estamos falando de v(t)^{2}.

Passo 3

Já a expressão
\tfrac{d^{2}x}{dt^{2}}
é a derivada de segunda ordem de x em relação a t. Isso significa “derive \tfrac{dx}{dt}” novamente em relação a t. Em Física, \tfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração.

Passo 4

Portanto,
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2} é o quadrado da velocidade.
\tfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração.
Como operações diferentes (elevar ao quadrado versus derivar de novo), elas não representam a mesma coisa.

Passo 5

Agora as unidades pelo método da análise dimensional:
x mede-se em metros, \;t em segundos.
\tfrac{dx}{dt} tem unidades \mathrm{m/s}, então
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}\;\text{tem unidades}\;\frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}}.
\tfrac{d^{2}x}{dt^{2}} tem unidades
\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}.

Resposta

(a) Não. \bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2} é o quadrado da velocidade, enquanto \tfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração.
(b)
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}: \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}
\tfrac{d^{2}x}{dt^{2}}: \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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