Considere o grupo G=((a, b) in R^2 mid a neq 0, oplus), cuja operação oplus é definida por (a, b) ominus(c, d)=(a c, a d+b), forall(a, b),(c, d) in G.
a) Prove que G é um grupo não-abeliano. (1.5 pontos)
b) Determine o elemento neutro de G. (1.0 ponto)
c) Determine o elemento inverso de (-1,1). (1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado define o conjunto G = {(a,b) ∈ ℝ² | a ≠ 0} com a operação (a,b) ⊕ (c,d) = (a·c, a·d + b). Precisamos: (a) provar que G é um grupo não-abeliano, (b) achar o elemento neutro, © achar o inverso de (–1,1).

Passo 2

Primeiro mostramos que G satisfaz as exigências de grupo: fechamento e associatividade. Fechamento: se a ≠ 0 e c ≠ 0, então a·c ≠ 0, logo (a·c, a·d+b) ∈ G. Associatividade: calculamos as duas associações
((a,b)⊕(c,d))⊕(e,f)=(a c·e, (a c)·f + (a d+b))
e
(a,b)⊕((c,d)⊕(e,f))=(a·(c e), a·(c·f + d)+b)=(a c e, a c f + a d + b)
Como (a c)·f + (a d+b)=a c f + a d + b, a operação é associativa.

Passo 3

Agora encontramos o elemento neutro genérico (x,y) ∈ G, tal que
(a,b)⊕(x,y)=(a,b),
isto é,
(a·x, a·y+b)=(a,b)
Da primeira coordenada vem x=1. Da segunda vem a·y+b=b ⇒ y=0. Testando no lado esquerdo invertido,
(x,y)⊕(a,b)=(x·a, x·b+y)=(a,b)
confirma também x=1 e y=0. Logo o neutro é (1,0).

Passo 4

Em seguida achamos o inverso genérico de (a,b), ou seja, (c,d) ∈ G tal que
(a,b)⊕(c,d)=(1,0)
Isto dá o sistema a·c=1 ⇒ c=1/a e a·d+b=0 ⇒ d=−b/a. Assim o inverso de (a,b) é (1/a, -b/a).

Passo 5

Para ver que G não é abeliano, basta comparar
(a,b)⊕(c,d)=(a c, a d+b)
e
(c,d)⊕(a,b)=(c a, c b+d)=(a c, c b+d)
Geralmente a d+b ≠ c b+d, logo a operação não comuta.

Passo 6

Aplicando o neutro e o inverso ao caso específico de (–1,1):
– o elemento neutro já é (1,0);
– o inverso de (–1,1) é (1/(–1), –1/(–1)) = (–1,1).

Resposta

G é um grupo não-abeliano; elemento neutro (1,0); inverso de (–1,1) é (–1,1).

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