Considere o grupo
, cuja operação
é definida por
.
a) Prove que
é um grupo não-abeliano. (1.5 pontos)
b) Determine o elemento neutro de
. (1.0 ponto)
c) Determine o elemento inverso de
. (1.0 ponto)
a) Prove que
b) Determine o elemento neutro de
c) Determine o elemento inverso de
Passo 1
O enunciado define o conjunto G = {(a,b) ∈ ℝ² | a ≠ 0} com a operação (a,b) ⊕ (c,d) = (a·c, a·d + b). Precisamos: (a) provar que G é um grupo não-abeliano, (b) achar o elemento neutro, © achar o inverso de (–1,1).
Passo 2
Primeiro mostramos que G satisfaz as exigências de grupo: fechamento e associatividade. Fechamento: se a ≠ 0 e c ≠ 0, então a·c ≠ 0, logo (a·c, a·d+b) ∈ G. Associatividade: calculamos as duas associações
e
Como (a c)·f + (a d+b)=a c f + a d + b, a operação é associativa.
Passo 3
Agora encontramos o elemento neutro genérico (x,y) ∈ G, tal que
isto é,
Da primeira coordenada vem x=1. Da segunda vem a·y+b=b ⇒ y=0. Testando no lado esquerdo invertido,
confirma também x=1 e y=0. Logo o neutro é (1,0).
Passo 4
Em seguida achamos o inverso genérico de (a,b), ou seja, (c,d) ∈ G tal que
Isto dá o sistema a·c=1 ⇒ c=1/a e a·d+b=0 ⇒ d=−b/a. Assim o inverso de (a,b) é
.
Passo 5
Para ver que G não é abeliano, basta comparar
e
Geralmente a d+b ≠ c b+d, logo a operação não comuta.
Passo 6
Aplicando o neutro e o inverso ao caso específico de (–1,1):
– o elemento neutro já é (1,0);
– o inverso de (–1,1) é (1/(–1), –1/(–1)) = (–1,1).
– o elemento neutro já é (1,0);
– o inverso de (–1,1) é (1/(–1), –1/(–1)) = (–1,1).
Resposta
G é um grupo não-abeliano; elemento neutro (1,0); inverso de (–1,1) é (–1,1).