Seja G=(a, b) ; a, b in R. Definimos uma multiplicação em G, dada por
(a, b) cdot(c, d)=(a c, a d+b)
a) Mostre que G é um grupo com respeito à multiplicação definida
b) Seja U=(1, b) ; b in R. Mostre que U é um subgrupo de G
c) Mostre que U é um subgrupo normal de G

Passo 1

Aqui estamos diante do conjunto G = { (a,b); a,b ∈ ℝ } com a operação (a,b)·(c,d) = (ac,
ad + b). Vamos verificar os axiomas de grupo, depois mostrar que U = { (1,b); b ∈ ℝ } é subgrupo e, por fim, que é normal.
Conteúdo: teoria de grupos – para mostrar que G é grupo precisamos checar: fechamento, associatividade, elemento identidade e inversos. Para U, usamos o critério de subgrupo (fechamento, identidade, inversos) e, para normalidade, mostramos que g u g⁻¹ ∈ U ∀ g∈G, u∈U.

Passo 2

Mostramos fechamento em G: sejam (a,b),(c,d)∈G. Então
[ (a,b)·(c,d) = (ac,
ad + b) ],
e como ac∈ℝ e ad + b∈ℝ, vemos que (ac,
ad + b)∈G. Assim G é fechado.

Passo 3

Verificamos associatividade: tomemos (a,b),(c,d),(e,f)∈G. Calculamos primeiro
[ ((a,b)·(c,d))·(e,f) = (ac,
ad + b)·(e,f) = (ac·e,
ac·f + (ad + b)) = (a(ce),
a(df) + b + ad) ],
e por outro lado
[ (a,b)·((c,d)·(e,f)) = (a,b)·(ce,
cf + d) = (a·ce,
a(cf + d) + b) = (a(ce),
acf + ad + b) ].
Como as duas componentes coincidem, a operação é associativa.

Passo 4

Procuramos o elemento identidade e tal elemento é e = (1,0), pois
[ (1,0)·(a,b) = (1·a,
1·b + 0) = (a,b) ]
[ (a,b)·(1,0) = (a·1,
a·0 + b) = (a,b) ].
Logo, (1,0) é identidade em G.

Passo 5

Para cada (a,b) em G (com a≠0 em princípio, mas veremos que a=0 não gera inverso em G e portanto não está no grupo; vamos assumir a≠0 ou então G* mas quem sabe o enunciado já previa isso), buscamos (x,y) tal que
[ (a,b)·(x,y) = (1,0) ].
Isto dá o sistema ax = 1 ⇒ x = 1/a e ay + b = 0 ⇒ y = −b/a. Então (x,y) = (1/a, −b/a) é inverso de (a,b).
Concluímos que G satisfaz todos os axiomas de grupo (com a≠0), logo é um grupo.

Passo 6

Para U = { (1,b); b∈ℝ }: fechamento:
[ (1,b)·(1,b’) = (1·1,
1·b’ + b) = (1,
b + b’) ∈ U ].
Identidade (1,0)∈U. Inverso de (1,b) é (1,−b) porque
[ (1,b)·(1,−b) = (1,0) ].
Assim U é subgrupo de G.

Passo 7

Para normalidade, tomemos g = (a,b)∈G e u = (1,x)∈U. Calculamos g u g⁻¹. Primeiro g u = (a,b)·(1,x) = (a·1,
a x + b) = (a,
a x + b). A seguir g⁻¹ = (1/a,
−b/a). Logo
[ g u g⁻¹ = (a,
a x + b)·(1/a,
−b/a) = (a·(1/a),
a·(−b/a) + (a x + b)) = (1,
−b + a x + b) = (1,
a x) ].
Como (1,
a x)∈U, segue g u g⁻¹∈U ∀g,u. Portanto U é subgrupo normal de G.

Resposta

G é grupo com a operação dada; U é subgrupo e, pela conjugação, mostra-se que U◁G (subgrupo normal).

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