Determine os elementos e a tabela da operação (+) do grupo quociente ^Z24 /lang<=4rang<=
(a) Prove que se G é um grupo abeliano, então G / H é abeliano.
(b) Prove que se G é um grupo cíclico, então G / H é cíclico.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com o grupo Z24 (adição módulo 24) e o subgrupo H=lang<=4rang<=. Precisamos achar os cosets (elementos) de Z24/H, montar a tabela de adição e ainda provar duas propriedades gerais de quocientes: (a) se G é abeliano então G/H é abeliano; (b) se G é cíclico então G/H é cíclico.

Passo 2

Vamos primeiro determinar H e seus cosets. O elemento 4 em Z24 gera o subgrupo
H=0,4,8,12,16,20,
que tem ordem 6. Logo o quociente Z24/H terá 24/6=4 cosets.

Passo 3

Os quatro cosets podem ser tomados com representantes 0,1,2,3:
H, 1+H, 2+H, 3+H

Passo 4

Para ver a operação, lembramos que
(i+H)+(j+H)=(i+j)+H,
tomando soma módulo 24 em i+j. Como só importam as classes módulo 4 dos representantes, a tabela de adição é exatamente a de Z4:
+ | H 1+H 2+H 3+H
H | H 1+H 2+H 3+H
1+H|1+H 2+H 3+H H
2+H|2+H 3+H H 1+H
3+H|3+H H 1+H 2+H

Passo 5

Agora provamos as propriedades gerais:
(a) Se G é abeliano, então para quaisquer g,hin G temos gh=hg. No quociente,
gHcdot hH=(gh)H=(hg)H=hHcdot gH,
logo G/H também é abeliano.
(b) Se G=lang<= arang<= é cíclico, todo elemento de G é da forma a^k. Então em G/H temos
(aH)^k=a^kH,
e variando k percorremos todas as classes de cosets. Assim aH gera G/H, que é cíclico.

Resposta

Os elementos de Z24/lang<=4rang<= são os cosets H,,1+H,,2+H,,3+H, onde H=0,4,8,12,16,20. A operação é dada por
(i+H)+(j+H)=(i+j\bmod24)+H,
que, visto módulo 4 nos representantes, tem exatamente a tabela de Z4. Além disso, se G é abeliano então G/H é abeliano (pois gH·hH=ghH=hgH=hH·gH), e se G é cíclico G=lang<= arang<= então G/H é gerado por aH, logo é cíclico.

Exercícios relacionados