Determine os elementos e a tabela da operação (+) do grupo quociente
(a) Prove que se é um grupo abeliano, então é abeliano.
(b) Prove que se é um grupo cíclico, então é cíclico.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com o grupo (adição módulo 24) e o subgrupo . Precisamos achar os cosets (elementos) de , montar a tabela de adição e ainda provar duas propriedades gerais de quocientes: (a) se é abeliano então é abeliano; (b) se é cíclico então é cíclico.
Passo 2
Vamos primeiro determinar e seus cosets. O elemento em gera o subgrupo
que tem ordem 6. Logo o quociente Z24/H terá 24/6=4 cosets.
Passo 3
Os quatro cosets podem ser tomados com representantes 0,1,2,3:
H, 1+H, 2+H, 3+H
Passo 4
Para ver a operação, lembramos que
(i+H)+(j+H)=(i+j)+H,
tomando soma módulo 24 em i+j. Como só importam as classes módulo 4 dos representantes, a tabela de adição é exatamente a de Z4:
+ | H 1+H 2+H 3+H
H | H 1+H 2+H 3+H
1+H|1+H 2+H 3+H H
2+H|2+H 3+H H 1+H
3+H|3+H H 1+H 2+H
Passo 5
Agora provamos as propriedades gerais:
(a) Se G é abeliano, então para quaisquer g,hin G temos gh=hg. No quociente,
gHcdot hH=(gh)H=(hg)H=hHcdot gH,
logo G/H também é abeliano.
(b) Se G=lang<= arang<= é cíclico, todo elemento de G é da forma a^k. Então em G/H temos (aH)^k=a^kH,
e variando k percorremos todas as classes de cosets. Assim aH gera G/H, que é cíclico.
Resposta
Os elementos de Z24/lang<=4rang<= são os cosets H,,1+H,,2+H,,3+H, onde H=0,4,8,12,16,20. A operação é dada por
(i+H)+(j+H)=(i+j\bmod24)+H,
que, visto módulo 4 nos representantes, tem exatamente a tabela de Z4. Além disso, se G é abeliano então G/H é abeliano (pois gH·hH=ghH=hgH=hH·gH), e se G é cíclico G=lang<= arang<= então G/H é gerado por aH, logo é cíclico.