Seja G=a, b, c, j, r, s um grupo cuja operação é *
a) Complete a tabela
* j r s a b c
j j r s a b c
r r s j
s s j r a
a a
b b c j
c c r j
b) Determine todos os subgrupos de ordem 2 de G
c) Diga, justificando, se G possui subgrupos de ordem 4
d) Detemine todos os subgrupos normais de G

Passo 1

O enunciado pede para completar a tabela de um grupo G de seis elementos, identificar subgrupos de ordem 2, verificar existência de subgrupos de ordem 4 e listar todos os normais. O conteúdo é teoría de grupos finitos, em particular aplicação do Teorema de Lagrange e do conhecimento da estrutura de D₃ (ou S₃).

Passo 2

Identificamos que j é a identidade (pois j⋆x=x para todo x) e que r tem ordem 3 (r⋆r=s e r⋆r⋆r=j). Isso mostra que H={j,r,s} é cíclico normal de ordem 3, e os outros três elementos têm ordem 2. Logo G é isomorfo ao dihedral D₃.

Passo 3

Usando as relações de D₃ (r³=j, a²=j e a⋆r=r^{-1}⋆a) e definindo a como reflexão, b= a⋆r e c= a⋆r², preenchemos a tabela:
c|cccccc * & j & r & s & a & b & c hline j & j & r & s & a & b & c r & r & s & j & c & a & b s & s & j & r & b & c & a a & a & b & c & j & r & s b & b & c & a & s & j & r c & c & a & b & r & s & j

Passo 4

Os subgrupos de ordem 2 são exatamente os que cada elemento de ordem 2 gera com j, ou seja lang<= arang<==j,a, lang<= brang<==j,b e lang<= crang<==j,c.

Passo 5

Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de um subgrupo deve dividir 6. Como 4 não divide 6, não há subgrupos de ordem 4 em G.

Passo 6

Em D₃ só há três subgrupos normais: o trivial j, o cíclico de rotações j,r,s e o próprio G. Não existem outros normais.

Resposta

a) A tabela completa é
c|cccccc * & j & r & s & a & b & c hline j & j & r & s & a & b & c r & r & s & j & c & a & b s & s & j & r & b & c & a a & a & b & c & j & r & s b & b & c & a & s & j & r c & c & a & b & r & s & j
b) Os subgrupos de ordem 2 são j,a, j,b e j,c.
c) Não existem subgrupos de ordem 4 (4 não divide 6).
d) Os subgrupos normais são apenas j, j,r,s e G).

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