Seja
um grupo cuja operação é *
a) Complete a tabela
a) Complete a tabela
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b) Determine todos os subgrupos de ordem 2 de G
c) Diga, justificando, se G possui subgrupos de ordem 4
d) Detemine todos os subgrupos normais de G
c) Diga, justificando, se G possui subgrupos de ordem 4
d) Detemine todos os subgrupos normais de G
Passo 1
O enunciado pede para completar a tabela de um grupo G de seis elementos, identificar subgrupos de ordem 2, verificar existência de subgrupos de ordem 4 e listar todos os normais. O conteúdo é teoría de grupos finitos, em particular aplicação do Teorema de Lagrange e do conhecimento da estrutura de D₃ (ou S₃).
Passo 2
Identificamos que j é a identidade (pois j⋆x=x para todo x) e que r tem ordem 3 (r⋆r=s e r⋆r⋆r=j). Isso mostra que H={j,r,s} é cíclico normal de ordem 3, e os outros três elementos têm ordem 2. Logo G é isomorfo ao dihedral D₃.
Passo 3
Usando as relações de D₃ (r³=j, a²=j e a⋆r=r^{-1}⋆a) e definindo a como reflexão, b= a⋆r e c= a⋆r², preenchemos a tabela:
Passo 4
Os subgrupos de ordem 2 são exatamente os que cada elemento de ordem 2 gera com j, ou seja
,
e
.
Passo 5
Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de um subgrupo deve dividir 6. Como 4 não divide 6, não há subgrupos de ordem 4 em G.
Passo 6
Em D₃ só há três subgrupos normais: o trivial
, o cíclico de rotações
e o próprio G. Não existem outros normais.
Resposta
a) A tabela completa é
b) Os subgrupos de ordem 2 são
,
e
.
c) Não existem subgrupos de ordem 4 (4 não divide 6).
d) Os subgrupos normais são apenas ,
e
.
c) Não existem subgrupos de ordem 4 (4 não divide 6).
d) Os subgrupos normais são apenas