Considere o grupo linear geral G Ln(K), onde K=Q, R ou C.
(b) Encontre CG(cc-1 & 3 0 & 1), isto é, encontre o centralizador do elemento (cc-1 & 3 0 & 1), para K= R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o centralizador da matriz -1 & 3 0 & 1 no grupo geral linear -1 & 3 0 & 1. Basicamente, isso significa que queremos descobrir todas as matrizes invertíveis que comutam com essa matriz específica, ou seja, que satisfazem , onde . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre comutatividade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a matriz B = a & b c & d que queremos encontrar. Ela vai ter a forma geral de uma matriz :
Nosso objetivo é achar os valores de , , e que fazem com que .

Passo 3

Agora, vamos calcular os produtos BA = a & b c & d -1 & 3 0 & 1 = -a & 3a + b -c & 3c + d e AB = -1 & 3 0 & 1 a & b c & d = -a + 3c & -b + 3d c & d :

Passo 4

Para que -a & 3a + b -c & 3c + d = -a + 3c & -b + 3d c & d , as matrizes resultantes devem ser iguais. Então, vamos igualar as respectivas entradas:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Já sabemos que , então essa equação está ok.
  2. Com , também está ok.

Passo 5

Com 3a + 2b = 3d , a única equação que precisamos resolver é:
d = 3a + 2b3
Podemos isolar B = a & b 0 & 3a + 2b3 :
det(B) = a cdot 3a + 2b3 - b cdot 0 = 3a^2 + 2ab3 = a^2 + 2ab3
Então, as matrizes que comutam com têm a forma:
Onde e são números reais. Além disso, para que seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero. Calculando o determinante de :
Para que , precisamos que (já que se , , o que não é permitido no ).

Resposta

O centralizador de -1 & 3 0 & 1 em CG(-1 & 3 0 & 1) = a & b 0 & 3a + 2b3 g| a, b in R, a neq 0 é o conjunto de todas as matrizes invertíveis da forma:
B = a & b 0 & 3a + 2b3
Ou seja, todas as matrizes que cumprem:
com .

Exercícios relacionados