Considere o grupo
(a) ( 0,5 pontos) Determine o subgrupo .
(b) (1,5 pontos) Determine os elementos e a tabela da operação + do grupo quociente G/H.
Passo 1
O enunciado pede para o grupo que a gente determine o subgrupo gerado por e depois os elementos e a tabela de soma do quociente . Vamos usar teoria de grupos cíclicos e de quocientes: definição de subgrupo gerado, classes laterais (cosets) e operação no grupo quociente.
Passo 2
Em , o subgrupo gerado por é
Como calculamos os múltiplos de 3 módulo 18 até voltar a , obtemos
Passo 3
O índice de H em G é [G:H]=18/6=3, então o quociente G/H tem 3 elementos, as classes laterais:
H, 1+H=1,4,7,10,13,16, 2+H=2,5,8,11,14,17
Passo 4
A operação em G/H é definida por
(a+H)+(b+H)=(a+b)+H
Isto torna G/H isomorfo a Z3. Montando a tabela de soma:
c|ccc + & H & 1+H & 2+H hline H & H & 1+H & 2+H 1+H & 1+H & 2+H & H 2+H & 2+H & H & 1+H