Considere o grupo G=(Z18,+)
(a) ( 0,5 pontos) Determine o subgrupo H=lang<=3rang<=.
(b) (1,5 pontos) Determine os elementos e a tabela da operação + do grupo quociente G/H.

Passo 1

O enunciado pede para o grupo ( Z18,+) que a gente determine o subgrupo gerado por 3 e depois os elementos e a tabela de soma do quociente G/H. Vamos usar teoria de grupos cíclicos e de quocientes: definição de subgrupo gerado, classes laterais (cosets) e operação no grupo quociente.

Passo 2

Em Z18, o subgrupo gerado por 3 é
H=lang<=3rang<==kcdot3:kin Z
Como calculamos os múltiplos de 3 módulo 18 até voltar a 0, obtemos
H=0,3,6,9,12,15

Passo 3

O índice de H em G é [G:H]=18/6=3, então o quociente G/H tem 3 elementos, as classes laterais:
H, 1+H=1,4,7,10,13,16, 2+H=2,5,8,11,14,17

Passo 4

A operação em G/H é definida por
(a+H)+(b+H)=(a+b)+H
Isto torna G/H isomorfo a Z3. Montando a tabela de soma:
c|ccc + & H & 1+H & 2+H hline H & H & 1+H & 2+H 1+H & 1+H & 2+H & H 2+H & 2+H & H & 1+H

Resposta

Os elementos de H são
$$H={\overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9},\overline{12},\overline{15}}.
H=0,3,6,9,12,15 ã{H,;1+H,;2+H}$$
e a tabela de soma em G/H é
H,;1+H,;2+H

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