Faça o que se pede:
Mostre que a fração 12 n+130 n+2 é irredutível, qualquer que seja n natural

Passo 1

Temos a fração 12n+130n+2 e queremos mostrar que ela é irreduzível para todo ninN. O conteúdo aqui é Teoria dos Números, mais precisamente o cálculo do máximo divisor comum (MDC) usando o algoritmo de Euclides.

Passo 2

Vamos aplicar o algoritmo de Euclides para gcd(30n+2,,12n+1). Subtraindo duas vezes 12n+1 de 30n+2 obtemos:
gcd(30n+2,,12n+1)=gcdl(12n+1,,(30n+2)-2cdot(12n+1)r)=gcd(12n+1,,6n)

Passo 3

Agora aplicamos de novo o algoritmo a gcd(12n+1,,6n). Subtraindo duas vezes 6n de 12n+1 vem:
gcd(12n+1,,6n)=gcdl(6n,,(12n+1)-2cdot(6n)r)=gcd(6n,1)=1

Passo 4

Como o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador é 1, concluímos que a fração não pode ser simplificada.

Resposta

A fração é irreduzível para todo n natural, pois seu MDC é 1.

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