Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se I
é um ideal de Z então o complementar I c
também é um ideal de Z
Se I
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o complementar de um ideal em
também é ideal. O conteúdo aqui é teoria de ideais em anéis, em particular em
, e vamos precisar usar a classificação de todos os ideais de
.
Passo 2
Em
, todo ideal
é da forma
para algum
. O complementar de
em
é
. Para ser ideal, esse conjunto teria que ser fechado sob adição e sob multiplicação por qualquer inteiro.
Passo 3
Tomemos o caso
. Então
e
são os números ímpares. Se fizermos a soma de dois ímpares, por exemplo
, obtemos um número par, que pertence a
, não a
. Logo
não é fechado sob soma e portanto não é um ideal.
Resposta
F