Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se I subset Z é um ideal de Z então o complementar I c subset Z também é um ideal de Z

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o complementar de um ideal em Z também é ideal. O conteúdo aqui é teoria de ideais em anéis, em particular em Z, e vamos precisar usar a classificação de todos os ideais de Z.

Passo 2

Em Z, todo ideal I é da forma n Z para algum n>=0. O complementar de I em Z é Zsetminus n Z. Para ser ideal, esse conjunto teria que ser fechado sob adição e sob multiplicação por qualquer inteiro.

Passo 3

Tomemos o caso n=2. Então I=2 Z e I^c= Zsetminus2 Z são os números ímpares. Se fizermos a soma de dois ímpares, por exemplo 3+5=8, obtemos um número par, que pertence a 2 Z, não a I^c. Logo I^c não é fechado sob soma e portanto não é um ideal.

Resposta

F

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