Considere o grupo linear geral G L_{n}(\mathbb{R}), formado por todas as matrizes n \times n inversíveis com entradas reais sob a multiplicação de matrizes, e o grupo multiplicativo dos números reais não nulos, \mathbb{R}^{*}. Seja o mapa determinante det : G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{*}.
(a) Mostre que det é um homomorfismo de grupos.
(b) Encontre o núcleo e a imagem deste homomorfismo.
(c) Utilize o Teorema Fundamental dos Homomorfismos (Primeiro Teorema do Isomorfismo) para demonstrar que G L_{n}(\mathbb{R}) / S L_{n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{*}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O grupo G L_{n}(\mathbb{R}): todas as matrizes n\times n inversíveis com entradas reais, com operação de multiplicação de matrizes.
  • O grupo \mathbb{R}^{*}: todos os números reais não nulos com multiplicação usual.
  • O mapa \det: G L_{n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{*}, que associa a cada matriz sua determinante.
O que nos pedem:
(a) Mostrar que \det é um homomorfismo de grupos (ou seja, que preserva a operação: \det(AB)=\det(A)\det(B) para todas A,B\in G L_{n}(\mathbb{R})).
(b) Encontrar o núcleo e a imagem de \det.
(c) Usar o Teorema Fundamental dos Homomorfismos (Primeiro Teorema do Isomorfismo) para demonstrar que G L_{n}(\mathbb{R}) / S L_{n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{*}.

Passo 2

Vou lembrar com calma o que é preciso para (a) e o significado das palavras que vamos usar:
  • Um homomorfismo de grupos \varphi: G\to H é uma aplicação que satisfaz \varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y) para todos x,y\in G. Também implica \varphi(e_G)=e_H e \varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}.
  • O núcleo de \varphi é \ker\varphi=\{g\in G \mid \varphi(g)=e_H\}.
  • A imagem é \operatorname{im}\varphi=\{\varphi(g)\mid g\in G\}.
  • O Primeiro Teorema do Isomorfismo diz: se \varphi:G\to H é um homomorfismo, então G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi (há um isomorfismo canônico induzido por \varphi).
No nosso caso aplicaremos essas definições a \det. Para mostrar que \det é homomorfismo precisamos provar a identidade multiplicativa \det(AB)=\det(A)\det(B) e observar que valores estão em \mathbb{R}^{*}.

Passo 3

Por que \det(A) pertence a \mathbb{R}^{*} quando A\in G L_{n}(\mathbb{R})?
  • Pela definição de G L_{n}(\mathbb{R}), A é inversível. Uma matriz é inversível se e só se seu determinante é diferente de zero. Logo \det(A)\neq 0, portanto \det(A)\in\mathbb{R}^{*}. Isso garante que o alvo da aplicação é realmente \mathbb{R}^{*}.

Passo 4

Prova da multiplicatividade \det(AB)=\det(A)\det(B) (a parte central para ser homomorfismo). Vou usar uma argumentação que é padrão e bastante direta:
Defina, para um A fixo, a aplicação
g_A: M_{n\times n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\qquad g_A(B)=\det(AB).
Observações importantes sobre g_A:
  • A multiplicação matricial é linear em cada coluna de B. Se B tem colunas b_1,\dots,b_n, então AB tem colunas A b_1,\dots,A b_n. Assim, variar uma coluna de B faz variar linearmente a coluna correspondente de AB.
  • A função determinante é multilinear nas colunas: isto significa que, mantendo todas as colunas exceto uma fixas, a determinante é uma função linear da coluna variável. Além disso a determinante é alternante: se duas colunas são iguais então o determinante é zero.
Dessas propriedades segue que g_A(B)=\det(AB) é uma função multilinear e alternante nas colunas de B. Além disso, avaliada em B=I (a matriz identidade) temos
g_A(I)=\det(AI)=\det(A).
Agora use a propriedade de unicidade do determinante: a função determinante \det(B) é a única função multilinear alternante nas colunas que toma o valor 1 em B=I. Logo qualquer outra função multilinear alternante g satisfazendo g(I)=c deve ser igual a c\cdot \det(B). Aplicando isso a g_A (que tem g_A(I)=\det(A)) obtemos
\det(AB)=g_A(B)=\det(A)\cdot\det(B).
Esse é o argumento padrão: g_A e \det(B) são ambos formas multilineares alternantes; comparar os valores em I dá o fator \det(A).
Se preferir uma justificativa mais concreta: escreva \det(B) pela soma sobre permutações (fórmula de Leibniz) e expandindo \det(AB) chega-se à mesma igualdade; mas a explicação via multilinearidade é mais curta e conceitualmente limpa.

Passo 5

Conclusões imediatas da multiplicatividade:
  • Para todos A,B\in G L_{n}(\mathbb{R}) vale
\det(AB)=\det(A)\det(B),
portanto \det preserva a operação de multiplicação e é um homomorfismo de grupos.
  • Além disso, como consequência,
\det(I)=1, \qquad \det(A^{-1})=\det(A)^{-1},
pois \det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1.

Passo 6

Encontrar o núcleo e verificar que é exatamente S L_{n}(\mathbb{R}).
Definição: S L_{n}(\mathbb{R}) é o subgrupo especial linear formado por todas as matrizes n\times n de determinante 1:
S L_{n}(\mathbb{R})=\{A\in G L_{n}(\mathbb{R}) \mid \det(A)=1\}.
Pelo que é o núcleo:
\ker(\det)=\{A\in G L_{n}(\mathbb{R}) \mid \det(A)=1\}.
Logo
\ker(\det)=S L_{n}(\mathbb{R}).
Observações adicionais: porque \ker(\det) é o núcleo de um homomorfismo ele é um subgrupo normal de G L_{n}(\mathbb{R}); portanto S L_{n}(\mathbb{R}) é normal em G L_{n}(\mathbb{R}).

Passo 7

Encontrar a imagem de \det.
Já vimos que para A\in G L_{n}(\mathbb{R}) temos \det(A)\in\mathbb{R}^{*}, então \operatorname{im}(\det)\subseteq\mathbb{R}^{*}. Falta mostrar que toda r\in\mathbb{R}^{*} é realmente um determinante de alguma matriz inversível (surjetividade).
Tomemos r\in\mathbb{R}^{*}. Considere a matriz diagonal
D=\begin{pmatrix} r & 0 & \cdots & 0\\[2pt] 0 & 1 & \cdots & 0\\[2pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[2pt] 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz tem determinante \det(D)=r\cdot 1\cdots 1=r. Além disso D é inversível (pois todas as entradas diagonais são não nulas porque r\neq 0). Portanto cada r\in\mathbb{R}^{*} está na imagem de \det. Logo
\operatorname{im}(\det)=\mathbb{R}^{*}.]

Passo 8

Aplicando o Primeiro Teorema do Isomorfismo:
O teorema garante que
G L_{n}(\mathbb{R}) / \ker(\det) \cong \operatorname{im}(\det).
Substituindo o que já obtivemos \ker(\det)=S L_{n}(\mathbb{R}) e \operatorname{im}(\det)=\mathbb{R}^{*}, obtemos
G L_{n}(\mathbb{R}) / S L_{n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{*}.
Para ficar bem concretinho, a isomorfia canônica é dada por
\Phi: G L_{n}(\mathbb{R})/S L_{n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{*},\qquad \Phi(A\cdot S L_{n}(\mathbb{R}))=\det(A).
É preciso checar que \Phi é bem-definida: se A S L_{n}=B S L_{n} então A^{-1}B\in S L_{n} e assim \det(A^{-1}B)=1, o que implica \det(B)=\det(A). Logo \Phi está bem-definida; é homomorfismo e bijetiva, portanto um isomorfismo.

Passo 9

Recapitulando de forma motivadora: a determinante transforma multiplicação de matrizes em multiplicação de números reais, o conjunto das matrizes de determinante 1 é exatamente o núcleo (por isso essas matrizes formam o subgrupo normal que “se anula” na homomorfia) e o quociente por esse núcleo recupera exatamente \mathbb{R}^{*}. É uma aplicação linda e direta do Primeiro Teorema do Isomorfismo — e é uma boa peça para lembrar na prova!

Resposta

(a) \det é um homomorfismo: \det(AB)=\det(A)\det(B) para todos A,B\in G L_{n}(\mathbb{R}).
(b) \ker(\det)=S L_{n}(\mathbb{R})=\{A\in G L_{n}(\mathbb{R})\mid \det(A)=1\} e \operatorname{im}(\det)=\mathbb{R}^{*}.
(c) Pela primeira isomorfia, G L_{n}(\mathbb{R}) / S L_{n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{*}.

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