Seja C* o grupo dos números complexos não nulos sob multiplicação e
o grupo dos números reais estritamente positivos sob multiplicação. Defina a aplicação
:
dada pelo módulo do número complexo, ou seja,
. Mostre que o círculo unitário
é um subgrupo normal de
e prove que o grupo quociente
é isomorfo a
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O grupo
: os números complexos não nulos com a operação de multiplicação. - O grupo
: os números reais estritamente positivos com multiplicação. - A aplicação
definida por . - O círculo unitário
.
O que se pede:
- Mostrar que
é um subgrupo normal de . - Provar que o grupo quociente
é isomorfo a .
Passo 2
Primeiro, vamos recordar (com calma) o que significa ser subgrupo: um subconjunto
de um grupo
é subgrupo se contém o elemento identidade, é fechado sob a operação do grupo e contém inversos. Vou aplicar isso a
.
- Identidade: o elemento identidade de
é . Como , tem-se . - Fechamento: tomemos
. Então e . Pela propriedade do módulo, . Logo . - Inverso: para
tem-se . O inverso multiplicativo é . Pelo fato , obtemos . Assim .
Portanto
contém a identidade, é fechado e contém inversos, logo
é um subgrupo de
.
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é normal. Recordando a definição: um subgrupo
de
é normal se para todo
e todo
temos
. Vou verificar isso diretamente.
Seja
e
. Calcule o módulo do conjugado:
Como
, segue
. Portanto
é normal em
.
(Observação rápida e útil:
é um grupo abeliano, então qualquer subgrupo é automaticamente normal. Ainda assim verifiquei diretamente a condição de conjugação com o módulo porque é uma verificação elementar e instrutiva.)
Passo 4
Agora foquemos na aplicação
dada por
. Vou mostrar que
é um homomorfismo de grupos (preserva a operação).
Tomemos
. Pela propriedade do módulo,
Isto mostra que
preserva a multiplicação, logo
é um homomorfismo de grupos.
Passo 5
Calculemos o núcleo
e a imagem
. Estes conceitos são fundamentais: para um homomorfismo
,
onde
é a identidade em
, e
No nosso caso, a identidade de
é
. Portanto
Então o núcleo de
é exatamente
.
Para a imagem, note que para qualquer
(isto é,
) podemos escolher
(número real positivo visto como complexo). Então
. Assim todo
está na imagem de
. Portanto
ou seja,
é sobrejetora (surjetiva).
Passo 6
Agora que temos que
é um homomorfismo com
e
, vou usar o Teorema do Isomorfismo (uma ferramenta padrão e muito útil).
O Teorema do Isomorfismo (forma prática): se
é um homomorfismo de grupos, então o grupo quociente
é isomorfo à imagem
. Em símbolos,
Aplicando ao nosso caso com
,
e
, obtemos
Passo 7
Para ficar bem explícito e didático, construo a bijeção que implementa este isomorfismo e verifico que é bem-definida e um homomorfismo: defina
Preciso checar três coisas: bem-definida, homomorfismo e bijetiva.
-
Bem-definida: se
então , isto é . Daí . Logo , então é bem-definida. -
Homomorfismo:
. Assim preserva a multiplicação de classes. -
Bijetividade:
é sobrejetora porque para todo tem-se . É injetiva porque o núcleo de (as classes que vão para ) é a classe em ; mais concretamente, se então e, pela verificação de bem-definida, isso implica . Portanto é bijetiva.
Logo
é um isomorfismo de grupos e implementa o isomorfismo pedido.