Seja C* o grupo dos números complexos não nulos sob multiplicação e \mathbb{R}_{+}^{*} o grupo dos números reais estritamente positivos sob multiplicação. Defina a aplicação \varphi : \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} dada pelo módulo do número complexo, ou seja, \varphi(z)=|z|. Mostre que o círculo unitário S^{1}=\left\{z \in \mathbb{C}^{*}| | z \mid=1\right\} é um subgrupo normal de \mathbb{C}^{*} e prove que o grupo quociente \mathbb{C}^{*} / S^{1} é isomorfo a \mathbb{R}_{+}^{*}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O grupo \mathbb{C}^{*}: os números complexos não nulos com a operação de multiplicação.
  • O grupo \mathbb{R}_{+}^{*}: os números reais estritamente positivos com multiplicação.
  • A aplicação \varphi:\mathbb{C}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*} definida por \varphi(z)=|z|.
  • O círculo unitário S^{1}=\{z\in\mathbb{C}^{*}\mid |z|=1\}.
O que se pede:
  1. Mostrar que S^{1} é um subgrupo normal de \mathbb{C}^{*}.
  2. Provar que o grupo quociente \mathbb{C}^{*}/S^{1} é isomorfo a \mathbb{R}_{+}^{*}.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar (com calma) o que significa ser subgrupo: um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se contém o elemento identidade, é fechado sob a operação do grupo e contém inversos. Vou aplicar isso a S^{1}.
  • Identidade: o elemento identidade de \mathbb{C}^{*} é 1. Como |1|=1, tem-se 1\in S^{1}.
  • Fechamento: tomemos z,w\in S^{1}. Então |z|=1 e |w|=1. Pela propriedade do módulo, |zw|=|z|\,|w|=1\cdot 1=1. Logo zw\in S^{1}.
  • Inverso: para z\in S^{1} tem-se |z|=1. O inverso multiplicativo é z^{-1}. Pelo fato |z^{-1}|=1/|z|, obtemos |z^{-1}|=1/1=1. Assim z^{-1}\in S^{1}.
Portanto S^{1} contém a identidade, é fechado e contém inversos, logo S^{1} é um subgrupo de \mathbb{C}^{*}.

Passo 3

Agora vamos mostrar que S^{1} é normal. Recordando a definição: um subgrupo H de G é normal se para todo g\in G e todo h\in H temos g h g^{-1}\in H. Vou verificar isso diretamente.
Seja g\in\mathbb{C}^{*} e s\in S^{1}. Calcule o módulo do conjugado:
|g s g^{-1}| = |g|\,|s|\,|g^{-1}| = |g|\cdot 1 \cdot \frac{1}{|g|} = 1.
Como |g s g^{-1}|=1, segue g s g^{-1}\in S^{1}. Portanto S^{1} é normal em \mathbb{C}^{*}.
(Observação rápida e útil: \mathbb{C}^{*} é um grupo abeliano, então qualquer subgrupo é automaticamente normal. Ainda assim verifiquei diretamente a condição de conjugação com o módulo porque é uma verificação elementar e instrutiva.)

Passo 4

Agora foquemos na aplicação \varphi:\mathbb{C}^{*}\to\mathbb{R}_{+}^{*} dada por \varphi(z)=|z|. Vou mostrar que \varphi é um homomorfismo de grupos (preserva a operação).
Tomemos z,w\in\mathbb{C}^{*}. Pela propriedade do módulo,
\varphi(zw)=|zw|=|z|\,|w|=\varphi(z)\,\varphi(w).
Isto mostra que \varphi preserva a multiplicação, logo \varphi é um homomorfismo de grupos.

Passo 5

Calculemos o núcleo \ker\varphi e a imagem \operatorname{im}\varphi. Estes conceitos são fundamentais: para um homomorfismo \varphi:G\to G',
\ker\varphi=\{g\in G\mid \varphi(g)=e'\},
onde e' é a identidade em G', e
\operatorname{im}\varphi=\{\varphi(g)\mid g\in G\}.
No nosso caso, a identidade de \mathbb{R}_{+}^{*} é 1. Portanto
\ker\varphi=\{z\in\mathbb{C}^{*}\mid |z|=1\}=S^{1}.
Então o núcleo de \varphi é exatamente S^{1}.
Para a imagem, note que para qualquer r\in\mathbb{R}_{+}^{*} (isto é, r>0) podemos escolher z=r (número real positivo visto como complexo). Então \varphi(r)=|r|=r. Assim todo r>0 está na imagem de \varphi. Portanto
\operatorname{im}\varphi=\mathbb{R}_{+}^{*},
ou seja, \varphi é sobrejetora (surjetiva).

Passo 6

Agora que temos que \varphi é um homomorfismo com \ker\varphi=S^{1} e \operatorname{im}\varphi=\mathbb{R}_{+}^{*}, vou usar o Teorema do Isomorfismo (uma ferramenta padrão e muito útil).
O Teorema do Isomorfismo (forma prática): se \varphi:G\to G' é um homomorfismo de grupos, então o grupo quociente G/\ker\varphi é isomorfo à imagem \operatorname{im}\varphi. Em símbolos,
G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi.
Aplicando ao nosso caso com G=\mathbb{C}^{*}, \ker\varphi=S^{1} e \operatorname{im}\varphi=\mathbb{R}_{+}^{*}, obtemos
\mathbb{C}^{*}/S^{1} \cong \mathbb{R}_{+}^{*}.

Passo 7

Para ficar bem explícito e didático, construo a bijeção que implementa este isomorfismo e verifico que é bem-definida e um homomorfismo: defina
\Psi:\mathbb{C}^{*}/S^{1}\longrightarrow \mathbb{R}_{+}^{*},\qquad \Psi(zS^{1}) = |z|.
Preciso checar três coisas: bem-definida, homomorfismo e bijetiva.
  • Bem-definida: se zS^{1}=wS^{1} então z^{-1}w\in S^{1}, isto é |z^{-1}w|=1. Daí |w|=|z||z^{-1}w|=|z|\cdot 1=|z|. Logo \Psi(zS^{1})=\Psi(wS^{1}), então \Psi é bem-definida.
  • Homomorfismo: \Psi((zS^{1})(wS^{1}))=\Psi(zwS^{1})=|zw|=|z||w|=\Psi(zS^{1})\Psi(wS^{1}). Assim \Psi preserva a multiplicação de classes.
  • Bijetividade: \Psi é sobrejetora porque para todo r\in\mathbb{R}_{+}^{*} tem-se \Psi(rS^{1})=|r|=r. É injetiva porque o núcleo de \Psi (as classes que vão para 1) é a classe S^{1} em \mathbb{C}^{*}/S^{1}; mais concretamente, se \Psi(zS^{1})=\Psi(wS^{1}) então |z|=|w| e, pela verificação de bem-definida, isso implica zS^{1}=wS^{1}. Portanto \Psi é bijetiva.
Logo \Psi é um isomorfismo de grupos e implementa o isomorfismo pedido.

Resposta

S^{1} é um subgrupo normal de \mathbb{C}^{*}.
\mathbb{C}^{*}/S^{1}\cong\mathbb{R}_{+}^{*} via o isomorfismo zS^{1}\mapsto|z|.

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