Qual é a maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de
? Explique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra envolvendo grupos cíclicos. O enunciado pergunta qual é a maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os grupos cíclicos e calcular as ordens dos subgrupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o grupo produto dos grupos cíclicos
e
. Isso significa que cada elemento desse grupo é um par ordenado
onde
e
.
Passo 3
A ordem de um elemento
em
é o menor número positivo
tal que
. Para calcular isso, usamos o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) das ordens de
em
e de
em
.
Passo 4
Vamos calcular as ordens possíveis em cada componente:
- Em
, os possíveis ordens dos elementos são 1, 2, 3 e 6. - Em
, os possíveis ordens dos elementos são 1, 2, 4 e 8.
Passo 5
Agora, para cada par
, calculamos o MMC das ordens de
e
. O maior MMC possível será a maior ordem de um subgrupo cíclico.
Passo 6
Vamos identificar os pares que dão o maior MMC:
- Se
tem ordem 6 e tem ordem 8, então o MMC é . - Nenhum outro par de ordens dá um MMC maior que 24.
Passo 7
Portanto, a maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de
é 24.
Resposta
A maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de
é 24.