Qual é a maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de Z6 times Z8 ? Explique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra envolvendo grupos cíclicos. O enunciado pergunta qual é a maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de Z6 times Z8. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os grupos cíclicos e calcular as ordens dos subgrupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que Z6 times Z8 é o grupo produto dos grupos cíclicos Z6 e Z8. Isso significa que cada elemento desse grupo é um par ordenado (a, b) onde a in Z6 e b in Z8.

Passo 3

A ordem de um elemento (a, b) em Z6 times Z8 é o menor número positivo n tal que n(a, b) = (0, 0). Para calcular isso, usamos o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) das ordens de a em Z6 e de b em Z8.

Passo 4

Vamos calcular as ordens possíveis em cada componente:
  • Em Z6, os possíveis ordens dos elementos são 1, 2, 3 e 6.
  • Em Z8, os possíveis ordens dos elementos são 1, 2, 4 e 8.

Passo 5

Agora, para cada par (a, b), calculamos o MMC das ordens de a e b. O maior MMC possível será a maior ordem de um subgrupo cíclico.

Passo 6

Vamos identificar os pares que dão o maior MMC:
  • Se a tem ordem 6 e b tem ordem 8, então o MMC é MMC(6, 8) = 24.
  • Nenhum outro par de ordens dá um MMC maior que 24.

Passo 7

Portanto, a maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de Z6 times Z8 é 24.

Resposta

A maior ordem entre as ordens de todos os subgrupos cíclicos de Z6 times Z8 é 24.

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