Responda os seguintes ítens:
Qual é a ordem do elemento
em
.
Qual é a ordem do elemento
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para descobrir qual é a ordem do elemento
no grupo
. Esse exercício está relacionado com álgebra abstrata, mais especificamente com grupos e produtos diretos de grupos. Para isso, vamos precisar entender o que significa a ordem de um elemento em um grupo e como calcular isso em um produto direto como
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento
em um grupo é o menor número positivo
tal que
é igual ao elemento neutro do grupo. No caso de grupos abelianos como
, a operação é a adição, então estamos procurando o menor
tal que
.
Passo 3
Agora, no grupo
, cada elemento é um par ordenado
, onde
e
. A ordem desse elemento será o menor número positivo
tal que:
Ou seja, precisamos encontrar o menor
que satisfaça as duas condições:
Passo 4
Vamos resolver cada congruência separadamente.
Isso significa que
deve ser múltiplo de
. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Então,
deve ser múltiplo de 3.
Aqui,
deve ser múltiplo de
. Dividindo ambos os lados por 2:
Portanto,
deve ser múltiplo de 4.
Passo 5
Agora, temos que
precisa ser múltiplo tanto de 3 quanto de 4. O menor número que é múltiplo de ambos é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 3 e 4.
O MMC de 3 e 4 é 12.
Passo 6
Então, o menor
que satisfaz ambas as condições é 12. Isso significa que a ordem do elemento
em
é 12.
Resposta
A ordem do elemento
em
é
.