Responda os seguintes ítens:
Qual é a ordem do elemento (4,2) em Z12 times Z8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para descobrir qual é a ordem do elemento (4,2) no grupo Z12 times Z8. Esse exercício está relacionado com álgebra abstrata, mais especificamente com grupos e produtos diretos de grupos. Para isso, vamos precisar entender o que significa a ordem de um elemento em um grupo e como calcular isso em um produto direto como Z12 times Z8.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento g em um grupo é o menor número positivo n tal que g^n é igual ao elemento neutro do grupo. No caso de grupos abelianos como Zn, a operação é a adição, então estamos procurando o menor n tal que n cdot g = 0.

Passo 3

Agora, no grupo Z12 times Z8, cada elemento é um par ordenado (a,b), onde a in Z12 e b in Z8. A ordem desse elemento será o menor número positivo n tal que:
n cdot (4,2) = (n cdot 4 mod 12, n cdot 2 mod 8) = (0,0)
Ou seja, precisamos encontrar o menor n que satisfaça as duas condições:
  1. n cdot 4 equiv 0 pmod12
  2. n cdot 2 equiv 0 pmod8

Passo 4

Vamos resolver cada congruência separadamente.
  1. n cdot 4 equiv 0 pmod12
Isso significa que 4n deve ser múltiplo de 12. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
n equiv 0 pmod3
Então, n deve ser múltiplo de 3.
  1. n cdot 2 equiv 0 pmod8
Aqui, 2n deve ser múltiplo de 8. Dividindo ambos os lados por 2:
n equiv 0 pmod4
Portanto, n deve ser múltiplo de 4.

Passo 5

Agora, temos que n precisa ser múltiplo tanto de 3 quanto de 4. O menor número que é múltiplo de ambos é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 3 e 4.
O MMC de 3 e 4 é 12.

Passo 6

Então, o menor n que satisfaz ambas as condições é 12. Isso significa que a ordem do elemento (4,2) em Z12 times Z8 é 12.

Resposta

A ordem do elemento (4,2) em Z12 times Z8 é 12.

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