Considere o grupo simétrico de grau 3 denotado por
O grupo S3=(lll 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 ),(lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 ),(lll 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 ),(lll 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 ),(lll 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 ),(lll 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 ) é cíclico? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para saber se o grupo simétrico de grau 3 S3 é cíclico. Vamos ver o que significa ser cíclico e depois checar se existe um gerador em S3.

Passo 2

Em teoria de grupos, um grupo G é chamado cíclico se existe um elemento gin G tal que todo elemento de G pode ser escrito como uma potência de g. Esse g é chamado gerador e satisfaz G=g^kmid kinZ.

Passo 3

O grupo S3 tem |S3|=6 elementos e, por um teorema de Lagrange, a ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo. Logo, o máximo que podemos ter como ordem de um elemento em S3 é 6, mas só se houver um elemento de ordem 6. Vamos examinar as possibilidades.

Passo 4

As permutações em S3 têm apenas dois tipos de ciclo disjunto: transposições (dois ciclos de tamanho 1 e um de tamanho 2) cuja ordem é 2, e ciclos de comprimento 3 (um único ciclo de tamanho 3) cuja ordem é 3. Por exemplo,
[(1,2,3)^3 = e]
onde e é a identidade. Não há permutação em S3 cujo ciclo seja de comprimento 6, então não existe elemento de ordem 6.

Passo 5

Como não encontramos elemento de ordem 6, não há como gerar todos os 6 elementos do grupo com as potências de um único elemento. Portanto, S3 não é cíclico.

Resposta

Não, o grupo S3 não é cíclico, pois não existe elemento de ordem 6 que gere todo o grupo.

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