Considere o grupo simétrico de grau 3 denotado por
O grupo
é cíclico? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para saber se o grupo simétrico de grau 3
é cíclico. Vamos ver o que significa ser cíclico e depois checar se existe um gerador em
.
Passo 2
Em teoria de grupos, um grupo
é chamado cíclico se existe um elemento
tal que todo elemento de
pode ser escrito como uma potência de
. Esse
é chamado gerador e satisfaz
.
Passo 3
O grupo
tem
elementos e, por um teorema de Lagrange, a ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo. Logo, o máximo que podemos ter como ordem de um elemento em
é 6, mas só se houver um elemento de ordem 6. Vamos examinar as possibilidades.
Passo 4
As permutações em
têm apenas dois tipos de ciclo disjunto: transposições (dois ciclos de tamanho 1 e um de tamanho 2) cuja ordem é 2, e ciclos de comprimento 3 (um único ciclo de tamanho 3) cuja ordem é 3. Por exemplo,
[(1,2,3)^3 = e]
onde é a identidade. Não há permutação em
cujo ciclo seja de comprimento 6, então não existe elemento de ordem 6.
[(1,2,3)^3 = e]
onde
Passo 5
Como não encontramos elemento de ordem 6, não há como gerar todos os 6 elementos do grupo com as potências de um único elemento. Portanto,
não é cíclico.
Resposta
Não, o grupo
não é cíclico, pois não existe elemento de ordem 6 que gere todo o grupo.