( 1,5 pts ) Resolva a integral
integral sin ^2 xcos ^5 x d x

Passo 1

Então, a gente precisa resolver a integral integral sin^2 xcos^5 x , dx. Vamos usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição. Para isso, vamos precisar conhecer as identidades de seno e cosseno e saber como aplicar a substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x. Então, substituímos:
integral sin^2 xcos^5 x , dx = integral 1 - cos^2 xcos^5 x , dx

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração em duas partes separadas:
integral 1cos^5 x , dx - integral cos^2 xcos^5 x , dx
Simplificando cada termo:
integral sec^5 x , dx - integral sec^3 x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando por integral sec^3 x , dx, que é uma integral padrão:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C

Passo 5

Agora, vamos resolver integral sec^5 x , dx. Para isso, usamos integração por partes. Escolhemos u = sec^3 x e dv = sec^2 x , dx. Calculando du e v:
du = 3 sec^3 x tan x , dx v = tan x
Aplicando a fórmula da integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Sabemos que integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x - 3 integral sec^3 x tan^2 x , dx , então:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Agora, isolando integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x - 3 integral sec^5 x , dx + 3 integral sec^3 x , dx :
integral sec^5 x , dx
Portanto,
4 integral sec^5 x , dx = sec^3 x tan x + 3 integral sec^3 x , dx

Passo 6

Substituindo o resultado de integral sec^3 x , dx que já calculamos:
integral sec^5 x , dx = 14 sec^3 x tan x + 38 sec x tan x + 38 ln |sec x + tan x| + C

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
integral sin^2 xcos^5 x , dx = integral sec^5 x , dx - integral sec^3 x , dx
Substituindo os resultados das integrais:
integral sin^2 xcos^5 x , dx = ( 14 sec^3 x tan x + 38 sec x tan x + 38 ln |sec x + tan x| ) - ( 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| ) + C
Simplificando:
integral sin^2 xcos^5 x , dx = 14 sec^3 x tan x - 18 sec x tan x - 18 ln |sec x + tan x| + C

Resposta

A integral integral sin^2 xcos^5 x , dx é igual a:
14 sec^3 x tan x - 18 sec x tan x - 18 ln |sec x + tan x| + C

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