(
) Para quais valores de
, a integral
representa a área abaixo do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para descobrir para quais valores de $ n \in \mathbb{N} $ a integral
representa a área abaixo do gráfico da função. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais impróprias e critérios de convergência. Vamos precisar verificar quando essa integral tem um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: $ (x-4)^{-n} $. Como estamos integrando de 5 até o infinito, $ x-4 $ será sempre positivo (já que $ x \geq 5 $), então não precisamos nos preocupar com valores negativos ou indefinidos.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = x - 4 $, então $ du = dx $. Quando $ x = 5 $, $ u = 1 $, e quando $ x $ vai para $ +\infty $, $ u $ também vai para $ +\infty $. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar para quais valores de $ n $ essa integral converge, ou seja, resulta em um valor finito. Sabemos que a integral
converge se e somente se o expoente de $ u $ for maior que 1. Isso porque, para $ n > 1 $, a função decai rápido o suficiente para que a área seja finita.
Passo 5
Considerando que $ n \in \mathbb{N} $ (números naturais), os valores possíveis para $ n $ que satisfazem $ n > 1 $ são $ n = 2, 3, 4, \dots $.
Resposta
A integral representa a área abaixo do gráfico para todos os números naturais $ n $ maiores que 1, ou seja, para $ n = 2, 3, 4, \dots $.