Considere o grupo simétrico de grau 3 denotado por
Quais as ordens dos subgrupos possíveis de S3=(lll 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 ),(lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 ),(lll 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 ),(lll 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 ),(lll 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 ),(lll 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as ordens possíveis dos subgrupos de S₃ e justificar usando teoria de grupos. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Lagrange, que relaciona a ordem de um subgrupo à ordem do grupo.

Passo 2

Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de qualquer subgrupo H deve dividir a ordem do grupo S₃. Como
|S3| = 6,
os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6. Logo, as ordens candidatas para subgrupos de S₃ são exatamente esses.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que, para cada divisor, existe de fato um subgrupo em S₃ com essa ordem:
– Ordem 1: o subgrupo trivial e, onde e é a permutação identidade.
– Ordem 6: o próprio grupo S₃ .
– Ordem 2: cada transposição em S₃ (por exemplo (1;2)) gera um subgrupo cíclico de ordem 2. Há três transposições, logo três subgrupos distintos de ordem 2.
– Ordem 3: as permutações cíclicas de comprimento 3 ( (1;2;3) e (1;3;2)) geram um subgrupo cíclico de ordem 3.

Passo 4

Com isso, confirmamos que existem subgrupos de S₃ para cada divisor de 6, e não há outros possíveis.

Resposta

As ordens possíveis dos subgrupos de S₃ são 1, 2, 3 e 6.

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