Considere o grupo simétrico de grau 3 denotado por
Quais as ordens dos subgrupos possíveis de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as ordens possíveis dos subgrupos de S₃ e justificar usando teoria de grupos. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Lagrange, que relaciona a ordem de um subgrupo à ordem do grupo.
Passo 2
Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de qualquer subgrupo H deve dividir a ordem do grupo S₃. Como
os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6. Logo, as ordens candidatas para subgrupos de S₃ são exatamente esses.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que, para cada divisor, existe de fato um subgrupo em S₃ com essa ordem:
– Ordem 1: o subgrupo trivial , onde
é a permutação identidade.
– Ordem 6: o próprio grupo S₃ .
– Ordem 2: cada transposição em S₃ (por exemplo ) gera um subgrupo cíclico de ordem 2. Há três transposições, logo três subgrupos distintos de ordem 2.
– Ordem 3: as permutações cíclicas de comprimento 3 ( e
) geram um subgrupo cíclico de ordem 3.
– Ordem 1: o subgrupo trivial
– Ordem 6: o próprio grupo S₃ .
– Ordem 2: cada transposição em S₃ (por exemplo
– Ordem 3: as permutações cíclicas de comprimento 3 (
Passo 4
Com isso, confirmamos que existem subgrupos de S₃ para cada divisor de 6, e não há outros possíveis.
Resposta
As ordens possíveis dos subgrupos de S₃ são 1, 2, 3 e 6.