(a) Se a posição de uma partícula é dada por
, em que
está em metros e
em segundos, em que instantes a velocidade da partícula é zero? (b) Em que instante a aceleração
é zero? (c) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa? (d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é positiva? (e) Desenhe os gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
, com
em metros e
em segundos, e pede:
(a) Em que instantes a velocidade é zero?
(b) Em que instante a aceleração é zero?
(c) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa?
(d) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é positiva?
(e) Desenhar os gráficos de ,
e
.
(a) Em que instantes a velocidade é zero?
(b) Em que instante a aceleração
(c) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa?
(d) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é positiva?
(e) Desenhar os gráficos de
Informações relevantes fornecidas:
- A função posição é
válida para todos os (o enunciado não restringe ). - Precisamos obter
e a partir de e responder as perguntas (a)–(d) usando essas funções, e fazer os esboços pedidos em (e).
Passo 2
Entendendo velocidade: a velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo. Em palavras: a velocidade é a taxa de variação de
com
. Matematicamente:
Regra prática básica que vamos usar (e que é fácil de aplicar em prova): a derivada de uma constante é zero e a derivada de uma função linear
é o coeficiente
. Ou seja,
onde
e
são constantes. Aplicando isso em
:
-
porque é constante; -
.
Assim
Interpretação:
é constante (não depende de
). Isso significa que a partícula se move com velocidade constante de magnitude
no sentido negativo do eixo
.
Passo 3
Resposta ao item (a): queremos instantes onde a velocidade é zero, ou seja resolver
Substituindo a expressão que achamos:
Isto é uma contradição (não existe
que torne
igual a
). Logo, não existe instante em que a velocidade seja zero — a velocidade nunca se anula.
Dica para prova: quando
for uma constante diferente de zero, a equação
não tem solução.
Passo 4
Entendendo aceleração: a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja
Como encontramos
(constante), a derivada de uma constante é
. Portanto
Conclusão para (b): a aceleração é zero para todo
(isto é, em todos os instantes).
Explicação didática: aceleração zero significa que a velocidade não muda com o tempo — condiz com
sendo constante.
Passo 5
Responder (c) e (d) sobre sinais da aceleração:
- Uma aceleração negativa significa
. - Uma aceleração positiva significa
.
Nós temos
para todo
. Portanto:
- Não existe intervalo em que
; a aceleração nunca é negativa. - Não existe intervalo em que
; a aceleração nunca é positiva.
Observação útil para prova: se
é identicamente zero, ela não pertence a nenhum dos conjuntos
ou
; pertence somente a
.
Passo 6
Gráficos (item e). Vou descrever como são os três gráficos e dar pontos importantes para você esboçar na prova.
- Gráfico de
:
- Função:
. - É uma reta com intercepto vertical
e declive (inclinação) (ou seja, desce 50 m para cada segundo). - Ponto onde cruza o eixo
: resolver . Então em a posição é zero. - Esboço mental: reta decrescente começando em
quando e cruzando o eixo posição em .
- Gráfico de
:
- Função:
. - É uma linha horizontal constante em
no eixo velocidade. - Em particular, em
temos ; em qualquer o valor é . - Esboço: uma linha horizontal abaixo do eixo
na altura .
- Gráfico de
:
- Função:
. - É a linha horizontal coincidente com o eixo
. - Esboço: o eixo horizontal (linha sobre
).
Dica prática para desenhar rapidamente: trace três pequenos sistemas de eixos lado a lado. Para
desenhe uma reta decrescente indicada pela equação; para
desenhe uma linha horizontal em
; para
desenhe a linha horizontal no zero.
Passo 7
Interpretação física final curta e encorajamento: a partícula se desloca com velocidade constante para o sentido negativo (no eixo
) a
. Não há aceleração (não há mudança de velocidade). Você já tem tudo para responder e desenhar na prova — respira, vai dar certo!
Resposta
(a) Não existe instante
tal que
(a velocidade é sempre
).
(b) para todo
.
(c) Nenhum intervalo — a aceleração nunca é negativa (é zero para todo ).
(d) Nenhum intervalo — a aceleração nunca é positiva (é zero para todo ).
(e) (reta decrescente com intercepto
e inclinação
);
(reta horizontal em
);
(reta horizontal em
).
(b)
(c) Nenhum intervalo — a aceleração nunca é negativa (é zero para todo
(d) Nenhum intervalo — a aceleração nunca é positiva (é zero para todo
(e)