(a) Se a posição de uma partícula é dada por x=204-50t, em que x está em metros e t em segundos, em que instantes a velocidade da partícula é zero? (b) Em que instante a aceleração a é zero? (c) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa? (d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é positiva? (e) Desenhe os gráficos de x(t), v(t) e a(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como \,x(t)=204-50t\,, com x em metros e t em segundos, e pede:
(a) Em que instantes a velocidade é zero?
(b) Em que instante a aceleração a é zero?
(c) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é negativa?
(d) Para qual intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração é positiva?
(e) Desenhar os gráficos de x(t), v(t) e a(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição é \,x(t)=204-50t\, válida para todos os t\in\mathbb{R} (o enunciado não restringe t).
  • Precisamos obter v(t) e a(t) a partir de x(t) e responder as perguntas (a)–(d) usando essas funções, e fazer os esboços pedidos em (e).

Passo 2

Entendendo velocidade: a velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo. Em palavras: a velocidade é a taxa de variação de x com t. Matematicamente:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Regra prática básica que vamos usar (e que é fácil de aplicar em prova): a derivada de uma constante é zero e a derivada de uma função linear k t é o coeficiente k. Ou seja,
\frac{d}{dt}[C]=0\quad\text{e}\quad\frac{d}{dt}[k t]=k,
onde C e k são constantes. Aplicando isso em \,x(t)=204-50t\,:
  • \frac{d}{dt}[204]=0 porque 204 é constante;
  • \frac{d}{dt}[-50t]=-50.
    Assim
v(t)=\frac{dx}{dt}=-50.
Interpretação: \,v(t)=-50\\ \mathrm{m/s}\, é constante (não depende de t). Isso significa que a partícula se move com velocidade constante de magnitude 50\\ \mathrm{m/s} no sentido negativo do eixo x.

Passo 3

Resposta ao item (a): queremos instantes onde a velocidade é zero, ou seja resolver
v(t)=0.
Substituindo a expressão que achamos:
-50=0.
Isto é uma contradição (não existe t que torne -50 igual a 0). Logo, não existe instante em que a velocidade seja zero — a velocidade nunca se anula.
Dica para prova: quando v(t) for uma constante diferente de zero, a equação v(t)=0 não tem solução.

Passo 4

Entendendo aceleração: a aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Como encontramos \,v(t)=-50\, (constante), a derivada de uma constante é 0. Portanto
a(t)=\frac{d}{dt}[-50]=0.
Conclusão para (b): a aceleração é zero para todo t\in\mathbb{R} (isto é, em todos os instantes).
Explicação didática: aceleração zero significa que a velocidade não muda com o tempo — condiz com v sendo constante.

Passo 5

Responder (c) e (d) sobre sinais da aceleração:
  • Uma aceleração negativa significa a(t)<0.
  • Uma aceleração positiva significa a(t)>0.
Nós temos \,a(t)=0\, para todo t. Portanto:
  • Não existe intervalo em que a(t)<0; a aceleração nunca é negativa.
  • Não existe intervalo em que a(t)>0; a aceleração nunca é positiva.
Observação útil para prova: se a(t) é identicamente zero, ela não pertence a nenhum dos conjuntos a<0 ou a>0; pertence somente a a=0.

Passo 6

Gráficos (item e). Vou descrever como são os três gráficos e dar pontos importantes para você esboçar na prova.
  1. Gráfico de x(t):
  • Função: \,x(t)=204-50t\,.
  • É uma reta com intercepto vertical \,x(0)=204\\ \mathrm{m}\, e declive (inclinação) -50 (ou seja, desce 50 m para cada segundo).
  • Ponto onde cruza o eixo x=0: resolver \,204-50t=0\Rightarrow t=\frac{204}{50}=\frac{102}{25}=4,08\\ \mathrm{s}. Então em t\approx4,08\\ \mathrm{s} a posição é zero.
  • Esboço mental: reta decrescente começando em 204 quando t=0 e cruzando o eixo posição em t\approx4,08.
  1. Gráfico de v(t):
  • Função: \,v(t)=-50\\ \mathrm{m/s}\,.
  • É uma linha horizontal constante em -50 no eixo velocidade.
  • Em particular, em t=0 temos v(0)=-50; em qualquer t o valor é -50.
  • Esboço: uma linha horizontal abaixo do eixo v=0 na altura -50.
  1. Gráfico de a(t):
  • Função: \,a(t)=0\\ \mathrm{m/s^2}\,.
  • É a linha horizontal coincidente com o eixo a=0.
  • Esboço: o eixo horizontal (linha sobre a=0).
Dica prática para desenhar rapidamente: trace três pequenos sistemas de eixos lado a lado. Para x(t) desenhe uma reta decrescente indicada pela equação; para v(t) desenhe uma linha horizontal em -50; para a(t) desenhe a linha horizontal no zero.

Passo 7

Interpretação física final curta e encorajamento: a partícula se desloca com velocidade constante para o sentido negativo (no eixo x) a 50\\ \mathrm{m/s}. Não há aceleração (não há mudança de velocidade). Você já tem tudo para responder e desenhar na prova — respira, vai dar certo!

Resposta

(a) Não existe instante t tal que v(t)=0 (a velocidade é sempre -50\\ \mathrm{m/s}).
(b) a(t)=0 para todo t\in\mathbb{R}.
(c) Nenhum intervalo — a aceleração nunca é negativa (é zero para todo t).
(d) Nenhum intervalo — a aceleração nunca é positiva (é zero para todo t).
(e) x(t)=204-50t (reta decrescente com intercepto 204 e inclinação -50); v(t)=-50\\ \mathrm{m/s} (reta horizontal em -50); a(t)=0\\ \mathrm{m/s^2} (reta horizontal em 0).

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