Considere h(x, y)=raizy^22-2 x^2+16.
Determine três curvas de nível. Faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de nível da função h(x,y)=raizy^22-2x^2+16. O conteúdo é curva de nível de função de duas variáveis: dado um valor k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que h(x,y)=k.

Passo 2

Para obter a curva de nível de valor k, escrevemos
raizy^22-2x^2+16=k
e em seguida isolamos o radicando. Elevando ao quadrado temos
y^22-2x^2+16 = k^2

Passo 3

Multiplicando tudo por 2 para simplificar os coeficientes:
y^2 - 4x^2 +32 = 2k^2 Longrightarrow y^2 -4x^2 = 2k^2 -32

Passo 4

Vamos escolher três valores distintos de k dentro do domínio ( 0<= k<=4). Por exemplo, k=1,2,3. Para cada um:
Para k=1:
y^2 -4x^2 = 2cdot1^2 -32 = -30 Long<=ftrightarrow;4x^2 - y^2 = 30
Para k=2:
y^2 -4x^2 = 2cdot2^2 -32 = -24 Long<=ftrightarrow;4x^2 - y^2 = 24
Para k=3:
y^2 -4x^2 = 2cdot3^2 -32 = -14 Long<=ftrightarrow;4x^2 - y^2 = 14

Passo 5

Cada uma dessas equações é uma hipérbole centrada na origem, simétrica em relação aos eixos, abrindo ao longo do eixo x. As assíntotas são dadas por
y=pm2x

Passo 6

No gráfico, basta desenhar três hipérboles com constantes 30,24,14, todas com as mesmas assíntotas e vértices em l(pmraiztfrac304,0r), l(pmraiztfrac244,0r) e l(pmraiztfrac144,0r).

Resposta

As três curvas de nível escolhidas são:
4x^2 - y^2 = 30,
4x^2 - y^2 = 24,
4x^2 - y^2 = 14,
todas hipérboles centradas na origem com assíntotas y=pm2x.

Exercícios relacionados