1. Dada a função f(x)=x sen x, calcule .

Passo 1

O enunciado pede a terceira derivada de f(x)=x sen x avaliada em x=π/2, ou seja, f’’’(π/2). Aqui usaremos a regra do produto e as derivadas básicas de
funções trigonométricas (d(
sin x)=
cos x e d(
cos x)=-
sin x).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra do produto para achar f’(x). Se f(x)=x·sin x, então:
f'(x)=1·sin x + x·cos x=sin x + xcos x

Passo 3

Agora derivamos f’(x) para obter f’’(x). Derivando cada termo:
  • d(\sin x)=\cos x
  • d(x\cos x)=1·\cos x + x·(-\sin x)=\cos x - x\sin x
    Somando, temos:
f''(x)=cos x + (cos x - xsin x)=2cos x - xsin x

Passo 4

Em seguida, derivamos f’’(x) para obter f’’’(x). Novamente, derivamos termo a termo:
  • d(2\cos x)=2·(-\sin x)=-2\sin x
  • d(-x\sin x)=-(1·\sin x + x·\cos x)= -\sin x - x\cos x
    Logo:
f'''(x) = -2sin x - (sin x + xcos x)= -3sin x - xcos x

Passo 5

Por fim, avaliamos f’’’(x) em x=π/2, sabendo que \sin(π/2)=1 e \cos(π/2)=0. Substituindo em f’’’(x):
f'''l(tfracpi2r) = -3·1 - tfracpi2·0 = -3

Resposta

-3

Exercícios relacionados