- Dada a função
, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede a terceira derivada de f(x)=x sen x avaliada em x=π/2, ou seja, f’’’(π/2). Aqui usaremos a regra do produto e as derivadas básicas de
funções trigonométricas (d(
sin x)=
cos x e d(
cos x)=-
sin x).
funções trigonométricas (d(
sin x)=
cos x e d(
cos x)=-
sin x).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a regra do produto para achar f’(x). Se f(x)=x·sin x, então:
Passo 3
Agora derivamos f’(x) para obter f’’(x). Derivando cada termo:
- d(\sin x)=\cos x
- d(x\cos x)=1·\cos x + x·(-\sin x)=\cos x - x\sin x
Somando, temos:
Passo 4
Em seguida, derivamos f’’(x) para obter f’’’(x). Novamente, derivamos termo a termo:
- d(2\cos x)=2·(-\sin x)=-2\sin x
- d(-x\sin x)=-(1·\sin x + x·\cos x)= -\sin x - x\cos x
Logo:
Passo 5
Por fim, avaliamos f’’’(x) em x=π/2, sabendo que \sin(π/2)=1 e \cos(π/2)=0. Substituindo em f’’’(x):
Resposta
-3