Considere um halteres, formado por duas massas
com um eixo de comprimento
. a) Considerando movimentos de rotação do halteres em relação a um eixo perpendicular ao do halteres, passando por seu ponto médio, e tomando como
e
as velocidades das massas em relação ao ao centro de massas, mostre que é possível a definição de uma velocidade angular
e de um momento de inércia
tal que o momento angular de rotação seja
. b) Se lançamos o halteres numa região com gravidade constante, de forma a
ficar perpendicular ao plano do movimento do centro de massas, mostre que, ao usar as leis do momento e do momento angular para um sistema, o centro de massas se deslocará como um projétil, enquanto
permanecerá constante.
Passo 1
O enunciado pede pra gente estudar um halteres composto por duas massas iguais
ligadas por um eixo de comprimento
. Na parte (a) queremos mostrar que, ao girar esse halteres em torno de um eixo perpendicular ao seu próprio eixo e passando pelo ponto médio, dá pra definir uma velocidade angular
e um momento de inércia
de forma que o momento angular interno seja
. Na parte (b) vamos lançar esse halteres sob gravidade constante, com
perpendicular ao plano do movimento do centro de massas, e mostrar que o centro de massas (CM) se comporta como projétil e que
permanece constante.
Passo 2
Para a rotação, note que cada massa está a uma distância
do eixo de rotação e move-se com velocidade de módulo
em sentidos opostos (
e
). Pelas definições de cinemática de rotação rígida temos na magnitude
Daí definimos
$$
\omega = \frac{2u}{l}
$$
com direção dada pela regra da mão direita.
com direção dada pela regra da mão direita.
Passo 3
O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo ponto médio é a soma
. Como são duas massas a distância
,
O momento angular interno relativo ao CM é
e, calculando cada produto vetorial, chega-se a
mas como
isso vira
Passo 4
Agora na parte (b) tratamos o sistema halteres + gravidade. A força total externa é apenas o peso das duas massas:
Pelo teorema do momento linear para o CM:
$$
M,\vec a_{CM} = \sum\vec F_{ext} = 2m,\vec g \implies \vec a_{CM} = \vec g,$$
isto é, o CM sofre aceleração constante e faz movimento de projétil.
isto é, o CM sofre aceleração constante
Passo 5
Em relação ao momento angular total em torno do CM, o torque externo é
Mas cada massa gera um torque igual e oposto (pois seus
Pelo teorema do momento angular:
$$\frac{d\vec L_{int}}{dt} = \vec \tau_{ext} = 0 \implies \vec L_{int}(e portanto\vec\omega) é constante.
$$
Passo 6
Concluímos que o centro de massas se desloca como um projétil sob gravidade, enquanto o vetor
permanece inalterado.
Resposta
a) Definindo
e
, obtemos (movimento de projétil) e torque externo nulo sobre o CM, logo
permanece constante.