Considere um halteres, formado por duas massas m com um eixo de comprimento l. a) Considerando movimentos de rotação do halteres em relação a um eixo perpendicular ao do halteres, passando por seu ponto médio, e tomando como u e -u as velocidades das massas em relação ao ao centro de massas, mostre que é possível a definição de uma velocidade angular omega e de um momento de inércia I=m l^2 / 2 tal que o momento angular de rotação seja Li n t=I omega. b) Se lançamos o halteres numa região com gravidade constante, de forma a omega ficar perpendicular ao plano do movimento do centro de massas, mostre que, ao usar as leis do momento e do momento angular para um sistema, o centro de massas se deslocará como um projétil, enquanto omega permanecerá constante.

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar um halteres composto por duas massas iguais m ligadas por um eixo de comprimento l. Na parte (a) queremos mostrar que, ao girar esse halteres em torno de um eixo perpendicular ao seu próprio eixo e passando pelo ponto médio, dá pra definir uma velocidade angular omega e um momento de inércia I = m l^2/2 de forma que o momento angular interno seja vec Lint = I,vecomega. Na parte (b) vamos lançar esse halteres sob gravidade constante, com vecomega perpendicular ao plano do movimento do centro de massas, e mostrar que o centro de massas (CM) se comporta como projétil e que vecomega permanece constante.

Passo 2

Para a rotação, note que cada massa está a uma distância r = l/2 do eixo de rotação e move-se com velocidade de módulo u em sentidos opostos ( +vec u e -vec u). Pelas definições de cinemática de rotação rígida temos na magnitude
nu = omega,r implies u = omega,(l/2)
Daí definimos
$$
\omega = \frac{2u}{l}
$$
com direção dada pela regra da mão direita.

Passo 3

O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo ponto médio é a soma I=sum m r^2. Como são duas massas a distância l/2,
I = 2,m,(l/2)^2 = m,l^22
O momento angular interno relativo ao CM é
vec Lint = sumi vec ri times m,vec vi
e, calculando cada produto vetorial, chega-se a
|vec Lint| = 2,[m,(l/2),u] = m,l,u
mas como u=(l/2)omega isso vira
vec Lint = m,l,l2,omega ,hat n = I,vecomega

Passo 4

Agora na parte (b) tratamos o sistema halteres + gravidade. A força total externa é apenas o peso das duas massas:
sum vec Fext = 2m,vec g
Pelo teorema do momento linear para o CM:
$$
M,\vec a_{CM} = \sum\vec F_{ext} = 2m,\vec g \implies \vec a_{CM} = \vec g,$$
isto é, o CM sofre aceleração constante M,vec aCM = sumvec Fext = 2m,vec g implies vec aCM = vec g, e faz movimento de projétil.

Passo 5

Em relação ao momento angular total em torno do CM, o torque externo é
vec tauext = sumi vec ri times m,vec g
Mas cada massa gera um torque igual e oposto (pois seus vec ri são simétricos), logo
vec tauext = vec 0
Pelo teorema do momento angular:
$$\frac{d\vec L_{int}}{dt} = \vec \tau_{ext} = 0 \implies \vec L_{int}(e portanto\vec\omega) é constante.
$$

Passo 6

Concluímos que o centro de massas se desloca como um projétil sob gravidade, enquanto o vetor vecomega permanece inalterado.

Resposta

a) Definindo omega=2u/l e I=ml^2/2, obtemos (movimento de projétil) e torque externo nulo sobre o CM, logo vec Lint=I,vecomega b) Sob gravidade, temos (M,vec aCM=2m,vec g permanece constante.

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