Prove que na colisão elástica de duas massas e , em que uma das partículas (partícula 1), com velocidade no referencial de laboratório, incide sobre a outra (partícula 2), inicialmente em repouso nesse referencial (velocidade ), as velocidades finais e , no referencial de laboratório, são tais que as partículas se desviam na mesma direção no referencial do centro de massas. Use a seguinte notação: é velocidade do centro de massas, são as velocidades iniciais no referencial do centro de massas e e são
as velocidades finais no referencial do centro de massas. Mostre também que e que . Dica: mostre inicialmente que não se altera na colisão.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa colisão elástica entre duas massas m₁ e m₂, com a partícula 2 em repouso no laboratório, as velocidades finais no referencial do centro de massas continuam na mesma direção e mantêm o módulo de antes, e que a velocidade do centro de massas V não muda durante o choque.
Passo 2
Como não há forças externas atuando no sistema, o momento linear total se conserva. Seja P=a soma dos momentos em laboratório. Temos dP/dt=0, logo a velocidade do centro de massas vec V=P/(m₁+m₂)₁₂ é constante durante toda a colisão.
Passo 3
Definimos agora as velocidades no referencial do centro de massas (CM). Para cada partícula i:
vec ui' = vec ui - vec V, vec vi' = vec vi - vec V
Em particular, como vec u2=0, vec u2' = -vec V,
mas também
vec u1' = vec u1-vec V = m₂m₁+m₂,vec u1,₂₁₂
logo vec u2' = -m₁m₂,vec u1'₁₂
Passo 4
No referencial do CM o momento total inicial é zero:
m₁,vec u1' + m₂,vec u2'=0₁₂
Por conservação do momento em colisões elásticas, o momento total final também é zero: m₁,vec v1' + m₂,vec v2'=0,₁₂
ou seja,
vec v2' = -m₁m₂,vec v1'₁₂
Passo 5
A energia cinética total no CM também se conserva:
tfrac12 m₁|vec u1'|^2 + tfrac12 m₂|vec u2'|^2 = tfrac12 m₁|vec v1'|^2 + tfrac12 m₂|vec v2'|^2₁₂₁₂
Substituindo as relações de momento vec u2'=-tfracm₁m₂vec u1'₁₂ e vec v2'=-tfracm₁m₂vec v1'₁₂ na equação de energia, vemos que o fator comum m₁+tfracm₁^2m₂₁₁₂ multiplica |vec u1'|^2 do lado esquerdo e |vec v1'|^2 do lado direito, forçando |vec u1'| = |vec v1'|
Analogamente obtém-se
|vec u2'| = |vec v2'|
Passo 6
Como tanto antes quanto depois do choque vale
vec u2' = -m₁m₂vec u1' e vec v2' = -m₁m₂vec v1',₁₂₁₂
os vetores vec u1' e vec u2' são anticolineares, e o mesmo acontece com vec v1' e vec v2'. Assim, no referencial do CM ambas as partículas são desviadas na mesma direção (colineares) e mantêm o módulo de velocidade de antes.
Passo 7
Portanto, mostramos que a velocidade do centro de massas é constante, que no referencial do CM as magnitudes das velocidades individuais não mudam (|vec ui'|=|vec vi'|), e que vec v1' e vec v2' têm a mesma linha de ação, ou seja, desviam-se na mesma direção.
Resposta
No referencial do centro de massas, a velocidade do CM é inalterada; cada partícula conserva o módulo de sua velocidade (|vec ui'|=|vec vi'|); e como vec v2'=-tfracm1m2,vec v1', as duas velocidades finais são colineares, ou seja, desviam-se na mesma direção.