Deduza e explique as condições de aplicação das leis de conservação do momento linear, da energia e do momento angular para um sistema de partículas.

Passo 1

A questão pede para deduzir e explicar quando valem as leis de conservação do momento linear, da energia mecânica e do momento angular em um sistema de partículas. O conteúdo principal envolve: aplicar a Segunda Lei de Newton a um conjunto de partículas, distinguir forças internas e externas, entender trabalho e energia, e usar torque. Vamos precisar também conhecer as propriedades das forças conservativas e o Teorema do Trabalho-Energia.

Passo 2

Definimos o momento linear total do sistema como vec P = sumi mi vec vi. Pela Segunda Lei de Newton para cada partícula i, temos mi dotvec vi = vec F^rm exti + sumjneq ivec F^rm intij. Somando sobre todas as partículas, obtemos
dvec Pdt = sumi vec F^rm exti + sumisumjneq ivec F^rm intij
Como as forças internas vêm em pares iguais e opostas (Terceira Lei de Newton), sumi,jvec F^rm intij=0. Logo
dvec Pdt=sumi vec F^rm exti
Assim, para ter conservação de vec P basta que a soma das forças externas seja nula: sumivec F^rm exti=0.

Passo 3

Para a energia mecânica, definimos a energia total do sistema como
E = T + U,
onde T=sumi tfrac12 mi vi^2 é a energia cinética e U é a energia potencial associada a forças conservativas internas (e eventualmente externas). Pelo Teorema Trabalho-Energia, a variação de E é igual ao trabalho das forças não conservativas externas:
dEdt=Pnc^rm ext
Se não houver forças não conservativas externas (ou seu trabalho for nulo), então Pnc^rm ext=0 e E se mantém constante. Em outras palavras, para conservar energia mecânica o sistema deve estar livre de dissipação e só ter forças conservativas (internas ou externas que admitam energia potencial).

Passo 4

O momento angular total é
vec L=sumi vec ritimes mivec vi
Derivando no tempo e usando a equação de movimento de cada partícula, chega-se a
dvec Ldt=sumi vec ritimes vec F^rm exti + sumi,jvec ritimes vec F^rm intij
Se as forças internas são centrais (ligadas pela linha que une cada par de partículas), então vec ritimes vec F^rm intij = -vec rjtimes vec F^rm intji e a soma dos torques internos anula-se. Assim,
dvec Ldt=sumi vec tau^rm exti,
onde vec tau^rm exti=vec ritimesvec F^rm exti. Logo, para conservar vec L basta que o torque resultante externo seja zero: sumivec tau^rm exti=0.

Resposta

As condições de conservação são:
• Momento linear: sistema isolado de forças externas ou sumivec F^rm exti=0.
• Energia mecânica: não haver forças não conservativas externas (ou trabalho não conservativo nulo).
• Momento angular: ausência de torque externo resultante, isto é, sumivec tau^rm exti=0.

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