Deduza e explique as condições de aplicação das leis de conservação do momento linear, da energia e do momento angular para um sistema de partículas.
Passo 1
A questão pede para deduzir e explicar quando valem as leis de conservação do momento linear, da energia mecânica e do momento angular em um sistema de partículas. O conteúdo principal envolve: aplicar a Segunda Lei de Newton a um conjunto de partículas, distinguir forças internas e externas, entender trabalho e energia, e usar torque. Vamos precisar também conhecer as propriedades das forças conservativas e o Teorema do Trabalho-Energia.
Passo 2
Definimos o momento linear total do sistema como
. Pela Segunda Lei de Newton para cada partícula
, temos
. Somando sobre todas as partículas, obtemos
Como as forças internas vêm em pares iguais e opostas (Terceira Lei de Newton),
. Logo
Assim, para ter conservação de
basta que a soma das forças externas seja nula:
.
Passo 3
Para a energia mecânica, definimos a energia total do sistema como
onde
é a energia cinética e
é a energia potencial associada a forças conservativas internas (e eventualmente externas). Pelo Teorema Trabalho-Energia, a variação de
é igual ao trabalho das forças não conservativas externas:
Se não houver forças não conservativas externas (ou seu trabalho for nulo), então
e
se mantém constante. Em outras palavras, para conservar energia mecânica o sistema deve estar livre de dissipação e só ter forças conservativas (internas ou externas que admitam energia potencial).
Passo 4
O momento angular total é
Derivando no tempo e usando a equação de movimento de cada partícula, chega-se a
Se as forças internas são centrais (ligadas pela linha que une cada par de partículas), então
e a soma dos torques internos anula-se. Assim,
onde
. Logo, para conservar
basta que o torque resultante externo seja zero:
.
Resposta
As condições de conservação são:
• Momento linear: sistema isolado de forças externas ou
.
• Energia mecânica: não haver forças não conservativas externas (ou trabalho não conservativo nulo).
• Momento angular: ausência de torque externo resultante, isto é,
.