Deduza e explique as condições de aplicação das leis de conservação do momento linear, da energia e do momento angular de uma partícula.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir e explicar as condições em que valem as leis de conservação do momento linear, da energia e do momento angular de uma partícula. Vamos usar como ferramentas a segunda lei de Newton, o teorema trabalho‐energia e as definições de quantidade de movimento, energia cinética, potencial e momento angular.

Passo 2

Definindo a quantidade de movimento como p = mv, a segunda lei de Newton nos dá
dpdt = F
Isto significa que se a resultante das forças externas for zero ( Fext = 0), então
dpdt = 0 Longrightarrow p = constante
Portanto, o momento linear se conserva quando não há força externa resultante atuando na partícula.

Passo 3

A energia cinética é definida por T = tfrac12 m v^2. Calculando sua derivada no tempo e usando F = m,dv/dt, temos
dTdt = mvcdotdvdt = Fcdotv

Passo 4

Se a força for conservativa, existe um potencial V(r) tal que F = -nabla V e V não depende explicitamente do tempo. Então
dTdt = -dVdt Longrightarrow ddt(T+V)=0
Logo, a energia total E = T+V é constante sempre que a força for conservativa e o potencial não variar com o tempo.

Passo 5

Definindo o momento angular por L = r times p e derivando, obtemos
dLdt = r times dpdt = r times F = tau
Aqui tau é o torque. Se não houver torque externo ( tauext=0), então
dLdt=0 Longrightarrow L = constante
Em particular, para forças centrais (quando F é paralelo a r), o torque é sempre zero, garantindo a conservação de L.

Resposta

A quantidade de movimento linear se conserva se a força externa resultante for nula. A energia total (cinética + potencial) se conserva se as forças forem conservativas e o potencial não depender explicitamente do tempo. O momento angular se conserva se o torque externo for zero, em particular para forças centrais.

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