Considere a hélice circular em no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
Determine o comprimento do arco de A que se estende entre os pontos P=(1,0,0) e Q=(1,0,2 pi).
Passo 1
A curva é uma hélice circular parametrizada por r(t) = (cos t, ,sin t, ,t). O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva paramétrica em E^3, e vamos usar a fórmula que diz que o comprimento de r(t) de t=a até t=b é L = integrala^b lVert r'(t)rVert,dt.
Passo 2
Precisamos identificar os valores de parâmetro t que correspondem aos pontos dados. Substituindo t=0 em r(t) temos r(0)=(1,0,0), que é o ponto P. Substituindo t=2pi temos r(2pi)=(1,0,2pi), que é o ponto Q. Portanto, os limites da integral são a=0 e b=2pi.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada r'(t). Derivando componente a componente: x'= -sin t, y'= cos t e z'=1. Logo,
r'(t) = (-sin t, ,cos t, ,1)
Passo 4
Para o comprimento precisamos da norma de r'(t). Usando a definição de norma em E^3: