Considere a hélice circular em A subset E^3 no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
A:l x=cos (t), y=sen(t), z=t t in R
Determine o comprimento do arco de A que se estende entre os pontos P=(1,0,0) e Q=(1,0,2 pi).

Passo 1

A curva é uma hélice circular parametrizada por r(t) = (cos t, ,sin t, ,t). O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva paramétrica em E^3, e vamos usar a fórmula que diz que o comprimento de r(t) de t=a até t=b é L = integrala^b lVert r'(t)rVert,dt.

Passo 2

Precisamos identificar os valores de parâmetro t que correspondem aos pontos dados. Substituindo t=0 em r(t) temos r(0)=(1,0,0), que é o ponto P. Substituindo t=2pi temos r(2pi)=(1,0,2pi), que é o ponto Q. Portanto, os limites da integral são a=0 e b=2pi.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada r'(t). Derivando componente a componente: x'= -sin t, y'= cos t e z'=1. Logo,
r'(t) = (-sin t, ,cos t, ,1)

Passo 4

Para o comprimento precisamos da norma de r'(t). Usando a definição de norma em E^3:
lVert r'(t)rVert = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 5

Finalmente, o comprimento de arco é
L = integral0^2pi lVert r'(t)rVert,dt = integral0^2pi raiz2,dt = raiz2 integral0^2pi dt = 2piraiz2

Resposta

2piraiz2

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