Uma curva C é definida pelas equações paramétricas
x=t^2, y=t^3-3 t
Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal e vertical.

Passo 1

Resumo do problema: temos a curva paramétrica definida por x=t^2 e y=t^3-3t. O objetivo é encontrar os pontos onde a tangente é horizontal (inclinação zero) e onde é vertical (inclinação infinita). Para isso, vamos usar derivadas paramétricas.

Passo 2

Para curvas paramétricas, calculamos dydx=dy/dtdx/dt. Primeiro, derivamos x e y em relação a t:
dxdt=2t,
dydt=3t^2-3

Passo 3

Cálculo da inclinação:
dydx=3t^2-32t=3(t^2-1)2t

Passo 4

Tangente horizontal: ocorre quando dy/dx=0 e dx/dtneq0. Igualando o numerador a zero:
3(t^2-1)=0implies t^2=1implies t=pm1
Como dx/dt=2t não se anula em t=pm1, esses valores são válidos. Calculando os pontos:
Para t=1: x=1^2=1, y=1^3-3cdot1=-2. Ponto (1,-2).
Para t=-1: x=(-1)^2=1, y=(-1)^3-3cdot(-1)=2. Ponto (1,2).

Passo 5

Tangente vertical: ocorre quando dx/dt=0 e dy/dtneq0. Igualando o denominador a zero:
2t=0implies t=0
Verificamos que dy/dt|t=0=3cdot0^2-3=-3neq0, então há tangente vertical em t=0. O ponto é:
x=0^2=0, y=0^3-3cdot0=0, ou seja, (0,0).

Resposta

Pontos de tangente horizontal: (1,,-2) e (1,,2). Ponto de tangente vertical: (0,,0).

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