Considere a hélice circular em A subset E^3 no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
A:l x=cos (t), y=sen(t), z=t t in R
Determine os vetores unitários tangente, normal e binormal, T, N, B, respectivamente, como funçōes do parâmetro t.

Passo 1

O exercício pede para encontrar os vetores de Frenet–Serret (tangente, normal e binormal) para a hélice definida por r(t)=(cos t,,sin t,,t). Vamos usar a fórmula que diz: primeiro calculamos T=r'|r'|, depois N=T'|T'| e por fim B=Ttimes N. Precisamos conhecer derivadas de vetores, norma de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro derivamos r(t). Temos
r'(t)=(-sin t,,cos t,,1)

Passo 3

Logo a velocidade é
|r'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2=raiz1+1=raiz2

Passo 4

Então o vetor unitário tangente é
T(t)=r'(t)|r'(t)|=1raiz2(-sin t,,cos t,,1)

Passo 5

Agora derivamos T(t) para achar T'(t) e sua norma:
T'(t)=1raiz2(-cos t,,-sin t,,0),|T'(t)|=1raiz2raizcos^2t+sin^2t=1raiz2

Passo 6

O vetor normal é dado por N=T'|T'|, resultando em
N(t)=(-cos t,,-sin t,,0)

Passo 7

Por fim, o binormal vem de B=Ttimes N. Calculando o produto vetorial obtemos
B(t)=l(tfracsin traiz2,,-tfraccos traiz2,,tfrac1raiz2r)

Resposta

Os vetores de Frenet–Serret para a hélice são:
T(t)=1raiz2(-sin t,,cos t,,1),
N(t)=(-cos t,,-sin t,,0),
B(t)=1raiz2(sin t,,-cos t,,1)

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