Determine a equação da elipse centrada na origem, sabendo que ela passa pelos pontos (5,0) e (0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que está centrada na origem. Sabemos que essa elipse passa pelos pontos (5,0) e (0,3). Para resolver isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e substituir os valores que a gente tem para descobrir os parâmetros que faltam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula padrão da elipse centrada na origem. Ela é dada por:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, a é o semi-eixo maior (a maior distância do centro até a borda da elipse no eixo x) e b é o semi-eixo menor (a maior distância do centro até a borda da elipse no eixo y).

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto (5,0) que está na elipse para encontrar o valor de a. Substituindo x = 5 e y = 0 na equação da elipse:
5^2a^2 + 0^2b^2 = 1 25a^2 + 0 = 1 25a^2 = 1
Resolvendo para a^2:
a^2 = 25 a = raiz25 a = 5

Passo 4

Agora que já sabemos que a = 5, vamos usar o outro ponto (0,3) para encontrar o valor de b. Substituindo x = 0 e y = 3 na equação da elipse:
0^2a^2 + 3^2b^2 = 1 0 + 9b^2 = 1 9b^2 = 1
Resolvendo para b^2:
b^2 = 9 b = raiz9 b = 3

Resposta

A equação da elipse centrada na origem que passa pelos pontos (5,0) e (0,3) é:
x^225 + y^29 = 1

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