Considere a hélice circular em no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
Determine a curvatura kappa=kappa(t) de A como função do parâmetro t. Dê seu valor no ponto P=(1,0,0).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hélice, que é tipo uma escada em espiral no espaço tridimensional. As equações paramétricas dessa hélice são dadas por:
A:l x=cos (t), y=sin(t), z=t
O que a questão quer é que a gente encontre a curvatura dessa hélice, representada por kappa(t), em função do parâmetro t. Depois, precisamos calcular o valor dessa curvatura no ponto P=(1,0,0). Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de curvatura de uma curva no espaço, que envolve derivadas e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a curvatura. A curvatura kappa(t) de uma curva no espaço nos diz o quanto a curva está “curvada” naquele ponto. Matematicamente, para uma curva parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a curvatura é dada por:
kappa(t) = ||r'(t) times r''(t)||||r'(t)||^3
Aqui, r'(t) é a primeira derivada em relação a t (vetor velocidade), r''(t) é a segunda derivada (vetor aceleração), e times representa o produto vetorial entre dois vetores.
Passo 3
Vamos calcular r'(t), a primeira derivada dos componentes de A:
Com r'(t) e r''(t) em mãos, vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t). Lembrando que o produto vetorial de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é dado por:
(a, b, c) times (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)