Considere a hélice circular em A subset E^3 no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
A:l x=cos (t), y=sen(t), z=t t in R
Determine a curvatura kappa=kappa(t) de A como função do parâmetro t. Dê seu valor no ponto P=(1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hélice, que é tipo uma escada em espiral no espaço tridimensional. As equações paramétricas dessa hélice são dadas por:
A:l x=cos (t), y=sin(t), z=t
O que a questão quer é que a gente encontre a curvatura dessa hélice, representada por kappa(t), em função do parâmetro t. Depois, precisamos calcular o valor dessa curvatura no ponto P=(1,0,0). Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de curvatura de uma curva no espaço, que envolve derivadas e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a curvatura. A curvatura kappa(t) de uma curva no espaço nos diz o quanto a curva está “curvada” naquele ponto. Matematicamente, para uma curva parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a curvatura é dada por:
kappa(t) = ||r'(t) times r''(t)||||r'(t)||^3
Aqui, r'(t) é a primeira derivada em relação a t (vetor velocidade), r''(t) é a segunda derivada (vetor aceleração), e times representa o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular r'(t), a primeira derivada dos componentes de A:
r'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (-sin(t), cos(t), 1)
Agora, vamos calcular r''(t), a segunda derivada:
r''(t) = (d^2xdt^2, d^2ydt^2, d^2zdt^2) = (-cos(t), -sin(t), 0)

Passo 4

Com r'(t) e r''(t) em mãos, vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t). Lembrando que o produto vetorial de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é dado por:
(a, b, c) times (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)
Aplicando isso:
r'(t) times r''(t) = (cos(t) cdot 0 - 1 cdot (-sin(t)), 1 cdot (-cos(t)) - (-sin(t)) cdot 0, (-sin(t)) cdot (-sin(t)) - cos(t) cdot (-cos(t)))
Simplificando:
= (sin(t), -cos(t), sin^2(t) + cos^2(t))
Como sin^2(t) + cos^2(t) = 1, fica:
r'(t) times r''(t) = (sin(t), -cos(t), 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
||r'(t) times r''(t)|| = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Também precisamos da magnitude de r'(t):
||r'(t)|| = raiz(-sin(t))^2 + cos^2(t) + 1^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) + 1 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, (||r'(t)||)^3 = (raiz2)^3 = 2raiz2

Passo 6

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da curvatura:
kappa(t) = ||r'(t) times r''(t)||||r'(t)||^3 = raiz22raiz2 = 12
Legal, descobrimos que a curvatura kappa(t) da hélice é constante e igual a 12 para qualquer valor de t.

Resposta

A curvatura da hélice A é constante e igual a 12. No ponto P=(1,0,0), a curvatura kappa vale 12.

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